Как можно обосновать тождество: cos^4a - sin^4a = cos2a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества тождество алгебра cos^4a sin^4a cos2a объяснение тождества математические тождества Тригонометрия Новый

Чтобы обосновать тождество cos^4(a) - sin^4(a) = cos(2a), мы можем воспользоваться разложением разности квадратов и тригонометрическими формулами. Давайте рассмотрим шаги этого обоснования:

1. Первым делом, заметим, что выражение cos^4(a) - sin^4(a) можно представить в виде разности квадратов:

   cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a))^2 - (sin^2(a))^2

2. Теперь применим формулу разности квадратов:

   x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

   В нашем случае x = cos^2(a) и y = sin^2(a), тогда:

   cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a) - sin^2(a))(cos^2(a) + sin^2(a))

3. Следующий шаг — использовать известное тождество для суммы квадратов:

   cos^2(a) + sin^2(a) = 1

   Таким образом, мы можем упростить выражение:

   cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a) - sin^2(a)) * 1 = cos^2(a) - sin^2(a)

4. Теперь нам нужно вспомнить тригонометрическую формулу для cos(2a):

   cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

5. Таким образом, мы можем заключить:

   cos^4(a) - sin^4(a) = cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a)

Итак, мы обосновали тождество cos^4(a) - sin^4(a) = cos(2a) с помощью разложения разности квадратов и применения тригонометрических формул. Это завершает доказательство.