Как можно обосновать тождество tg(a) + ctg(a) = 2/sin(2a>?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества тождество tg(a) + ctg(a) обоснование тождества алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус решение задач по алгебре Новый

Чтобы обосновать тождество tg(a) + ctg(a) = 2/sin(2a), начнем с определения тангенса и котангенса:

• Тангенс: tg(a) = sin(a) / cos(a)
• Котангенс: ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Теперь можем записать левую часть тождества:

tg(a) + ctg(a) = sin(a) / cos(a) + cos(a) / sin(a).

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен sin(a) * cos(a):

tg(a) + ctg(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)) / (sin(a) * cos(a)).

По формуле Пифагора мы знаем, что:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

Таким образом, можем заменить числитель:

tg(a) + ctg(a) = 1 / (sin(a) * cos(a)).

Теперь вспомним, что sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a). Тогда:

1 / (sin(a) * cos(a)) = 2 / sin(2a).

Таким образом, мы приходим к следующему равенству:

tg(a) + ctg(a) = 2 / sin(2a).

Это и есть нужное нам тождество. Мы обосновали его, используя основные тригонометрические функции и известные тождества. Теперь мы можем утверждать, что tg(a) + ctg(a) = 2/sin(2a) верно для всех a, где tg(a) и ctg(a) определены.