Как можно определить корни уравнения sin(3x) = корень(2)/2 на отрезке [0, 2π]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения sin(3x) корень(2)/2 отрезок [0 2π] алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти корни уравнения sin(3x) = корень(2)/2 на отрезке [0, 2π], следуем следующим шагам:

1. Определяем основное уравнение: Поскольку мы ищем значения x, при которых синус равен корень(2)/2, нам нужно вспомнить, что sin(θ) = корень(2)/2 для углов θ = π/4 + 2kπ и θ = 3π/4 + 2kπ, где k - любое целое число.
2. Применяем обратное преобразование: В нашем случае, вместо θ мы имеем 3x. Таким образом, мы можем записать два уравнения:
   • 3x = π/4 + 2kπ
   • 3x = 3π/4 + 2kπ
3. Решаем каждое из уравнений:
   • Для первого уравнения:
     • 3x = π/4 + 2kπ
     • x = (π/4 + 2kπ) / 3
   • Для второго уравнения:
     • 3x = 3π/4 + 2kπ
     • x = (3π/4 + 2kπ) / 3
4. Находим корни на отрезке [0, 2π]: Теперь нам нужно подставить различные значения k и проверить, какие значения x находятся в пределах отрезка [0, 2π].

Рассмотрим первое уравнение:

• k = 0:
  • x = (π/4) / 3 = π/12
• k = 1:
  • x = (π/4 + 2π) / 3 = (π/4 + 6π/3) / 3 = (π/4 + 2π) / 3 = 9π/12 = 3π/4
• k = 2:
  • x = (π/4 + 4π) / 3 = (π/4 + 12π/3) / 3 = 25π/12 (не входит в [0, 2π])

Теперь рассмотрим второе уравнение:

• k = 0:
  • x = (3π/4) / 3 = π/4
• k = 1:
  • x = (3π/4 + 2π) / 3 = (3π/4 + 6π/3) / 3 = 15π/12 = 5π/4
• k = 2:
  • x = (3π/4 + 4π) / 3 = (3π/4 + 12π/3) / 3 = 27π/12 (не входит в [0, 2π])

Итак, корни уравнения sin(3x) = корень(2)/2 на отрезке [0, 2π] следующие:

• x = π/12
• x = π/4
• x = 3π/4
• x = 5π/4