Чтобы определить корни уравнения sin(3x) = cos(3x) на отрезке [0; 4], мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и некоторыми преобразованиями. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам решить это уравнение.

1. Перепишем уравнение: Уравнение sin(3x) = cos(3x) можно переписать в виде:
• tan(3x) = 1
2. Определим углы: Углы, для которых тангенс равен 1, можно найти, используя известные значения:
• 3x = π/4 + kπ, где k - целое число.
3. Решим уравнение для x: Теперь разделим обе стороны на 3:
• x = (π/4 + kπ) / 3.
4. Найдем значения k: Теперь нам нужно найти такие значения k, чтобы x находился в пределах отрезка [0; 4].
• 0 ≤ (π/4 + kπ) / 3 ≤ 4.
5. Умножим неравенство на 3:
• 0 ≤ π/4 + kπ ≤ 12.
6. Решим неравенство: Теперь решим два отдельных неравенства:
• π/4 + kπ ≥ 0:
• kπ ≥ -π/4 → k ≥ -1/4π (приблизительно -0.785).
• π/4 + kπ ≤ 12:
• kπ ≤ 12 - π/4 → k ≤ (12 - π/4)/π (приблизительно 3.42).
7. Определим целые значения k: Теперь нам нужно найти целые значения k, которые удовлетворяют неравенству:
• -1 ≤ k ≤ 3.
8. Подставим значения k: Теперь подставим целые значения k в уравнение x = (π/4 + kπ) / 3:
• Для k = -1: x = (π/4 - π) / 3 = (-3π/4) / 3 = -π/4 (не подходит, так как < 0).
• Для k = 0: x = (π/4) / 3 = π/12 (приблизительно 0.2618).
• Для k = 1: x = (π/4 + π) / 3 = (5π/4) / 3 = 5π/12 (приблизительно 1.3089).
• Для k = 2: x = (π/4 + 2π) / 3 = (9π/4) / 3 = 3π/4 (приблизительно 2.3562).
• Для k = 3: x = (π/4 + 3π) / 3 = (13π/4) / 3 = 13π/12 (приблизительно 3.4033).
9. Проверим полученные значения: Все найденные значения x находятся в пределах отрезка [0; 4].

Итак, корни уравнения sin(3x) = cos(3x) на отрезке [0; 4:

• x = π/12
• x = 5π/12
• x = 3π/4
• x = 13π/12