Как можно определить критические точки функции y=4x^3-12x?

Алгебра 11 класс Критические точки функции критические точки функция y=4x^3-12x алгебра 11 класс нахождение критических точек Новый

Чтобы определить критические точки функции y = 4x^3 - 12x, нам нужно выполнить несколько шагов. Критические точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте разберем процесс по шагам:

1. Найдите производную функции.

   Для начала нам нужно найти производную функции y по переменной x. Функция y = 4x^3 - 12x является полиномом, и мы можем использовать правила дифференцирования для нахождения производной.

   Производная будет:

   y' = d(4x^3)/dx - d(12x)/dx = 12x^2 - 12.

2. Приравняйте производную к нулю.

   Теперь, чтобы найти критические точки, необходимо приравнять производную к нулю:

   12x^2 - 12 = 0.

3. Решите уравнение.

   Теперь решим это уравнение:

   • 12x^2 = 12;
   • x^2 = 1;
   • x = ±1.

   Таким образом, мы нашли два значения x: x = 1 и x = -1.

4. Проверьте, существуют ли точки, где производная не существует.

   В данном случае производная y' = 12x^2 - 12 существует для всех значений x, поэтому мы не получаем дополнительных критических точек.

5. Запишите критические точки.

   Критические точки функции y = 4x^3 - 12x находятся в точках x = -1 и x = 1. Теперь мы можем найти соответствующие значения y:

   • Для x = -1:

   y(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1) = -4 + 12 = 8.

   • Для x = 1:

   y(1) = 4(1)^3 - 12(1) = 4 - 12 = -8.

   Таким образом, критические точки функции: (-1, 8) и (1, -8).

В заключение, мы нашли критические точки функции y = 4x^3 - 12x, которые находятся в точках (-1, 8) и (1, -8). Эти точки являются важными для дальнейшего анализа функции, например, для нахождения максимумов и минимумов.