Как найти критические точки следующих функций:

1. f(x) = x^4 - 2x^2 - 3
2. f(x) = (x^2 + 3x) / (x + 4)

Алгебра 11 класс Критические точки функции критические точки функции алгебра 11 нахождение критических точек примеры функций Новый

Чтобы найти критические точки функции, необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и определение точек, в которых производная равна нулю или неопределена. Рассмотрим каждую из заданных функций по очереди.

1. Функция f(x) = x^4 - 2x^2 - 3

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Производная функции f(x) будет:

• f'(x) = 4x^3 - 4x.

Шаг 2: Найдем критические точки, решая уравнение f'(x) = 0.

• 4x^3 - 4x = 0.
• 4x(x^2 - 1) = 0.
• 4x(x - 1)(x + 1) = 0.

Шаг 3: Находим корни уравнения:

• x = 0,
• x = 1,
• x = -1.

Таким образом, критические точки функции f(x) = x^4 - 2x^2 - 3 это x = -1, x = 0 и x = 1.

2. Функция f(x) = (x^2 + 3x) / (x + 4)

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) с помощью правила частного.

Если u(x) = x^2 + 3x и v(x) = x + 4, то производная f'(x) будет вычисляться по формуле:

• f'(x) = (u'v - uv') / v^2,

где u' = 2x + 3 и v' = 1.

Таким образом, подставляя значения, получаем:

• f'(x) = ((2x + 3)(x + 4) - (x^2 + 3x)(1)) / (x + 4)^2.

Шаг 2: Упростим числитель:

• f'(x) = (2x^2 + 8x + 3x + 12 - x^2 - 3x) / (x + 4)^2,
• f'(x) = (x^2 + 8x + 12) / (x + 4)^2.

Шаг 3: Найдем критические точки, решая уравнение f'(x) = 0. Числитель равен нулю:

• x^2 + 8x + 12 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

• Дискриминант D = 8^2 - 4*1*12 = 64 - 48 = 16.
• Корни уравнения: x = (-8 ± √16) / 2 = (-8 ± 4) / 2.

Таким образом, получаем:

• x = -2,
• x = -6.

Шаг 5: Также необходимо проверить, где производная неопределена. Это происходит, когда знаменатель равен нулю:

• x + 4 = 0,
• x = -4.

Таким образом, критические точки функции f(x) = (x^2 + 3x) / (x + 4) это x = -6, x = -2 и x = -4 (где производная неопределена).

В итоге, мы нашли критические точки для обеих функций.