Как можно определить максимальные и минимальные значения функции y=(12-x)√x на интервале [1;9]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальные значения функции минимальные значения функции функция y=(12-x)√x интервал [1;9] алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить максимальные и минимальные значения функции y = (12 - x)√x на заданном интервале [1; 9], необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Для этого сначала выразим функцию в более удобной форме:
• y = (12 - x)√x = (12√x) - (x√x) = 12√x - x^(3/2).
2. Вычислить производную y. Применим правила дифференцирования:
• y' = (12/2) * x^(-1/2) - (3/2)x^(1/2) = 6/x^(1/2) - (3/2)x^(1/2).
3. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек.
• 6/x^(1/2) - (3/2)x^(1/2) = 0.
• Умножим уравнение на 2x^(1/2), чтобы избавиться от дробей:
• 12 - 3x = 0.
• 3x = 12 → x = 4.
4. Определить критические точки и границы интервала. Критическая точка x = 4. Теперь проверим границы интервала [1; 9]:
• x = 1, y(1) = (12 - 1)√1 = 11.
• x = 4, y(4) = (12 - 4)√4 = 8 * 2 = 16.
• x = 9, y(9) = (12 - 9)√9 = 3 * 3 = 9.
5. Сравнить значения функции в критических точках и на границах интервала.
• y(1) = 11, y(4) = 16, y(9) = 9.
6. Определить максимальное и минимальное значения.
• Максимальное значение функции на интервале [1; 9] равно 16 (при x = 4).
• Минимальное значение функции на интервале [1; 9] равно 9 (при x = 9).

Таким образом, максимальное значение функции y = (12 - x)√x на интервале [1; 9] равно 16, а минимальное значение - 9.