Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции y = √(2x² - 2x + 1),нам нужно сначала разобраться с выражением под корнем.

Шаг 1: Анализ подкоренного выражения

Функция y определена, когда подкоренное выражение 2x² - 2x + 1 не меньше нуля. Давайте рассмотрим это выражение:

2x² - 2x + 1 является квадратным трёхчленом. Мы можем определить его дискриминант:

• Формула дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 2, b = -2, c = 1.
• D = (-2)² - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что квадратный трёхчлен 2x² - 2x + 1 не имеет действительных корней и всегда положителен. Следовательно, функция y = √(2x² - 2x + 1) определена для всех x.

Шаг 2: Нахождение критических точек

Теперь давайте найдем производную функции y:

• y = √(2x² - 2x + 1).
• Используем правило производной для корня: y' = (1/2)(2x² - 2x + 1)^(-1/2) * (4x - 2).

Упростим производную:

• y' = (4x - 2) / (2√(2x² - 2x + 1)).

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

• 4x - 2 = 0.
• 4x = 2.
• x = 1/2.

Шаг 3: Определение характера критической точки

Теперь мы можем проверить, является ли x = 1/2 минимумом или максимумом, используя второй производной тест:

• Найдём вторую производную y''.
• Для этого сначала найдем производную y': y' = (4x - 2) / (2√(2x² - 2x + 1)).
• Вычисляем y'' (это может быть сложнее, но мы можем использовать тест на знаки первой производной).

Для этого проверяем значения y' до и после x = 1/2:

• Если x < 1/2, например, x = 0, то y'> 0 (функция возрастает).
• Если x > 1/2, например, x = 1, то y' < 0 (функция убывает).

Таким образом, функция имеет минимум в точке x = 1/2.

Шаг 4: Нахождение значения функции в критической точке

Теперь подставим x = 1/2 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

• y(1/2) = √(2(1/2)² - 2(1/2) + 1).
• y(1/2) = √(2(1/4) - 1 + 1) = √(1/2).

Итог:

Наименьшее значение функции y = √(2x² - 2x + 1) равно √(1/2) и достигается при x = 1/2. Наибольшее значение функции стремится к бесконечности, поскольку функция определена для всех x.