Как можно определить наибольшее и наименьшее значение выражения sin x + cos x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства наибольшее значение наименьшее значение выражение sin x + cos x алгебра 11 класс тригонометрические функции Новый

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение выражения sin x + cos x, мы можем использовать несколько подходов. Один из наиболее эффективных способов - это преобразование данного выражения. Давайте рассмотрим шаги:

1. Преобразование выражения: Мы можем записать sin x + cos x в виде одного синуса с помощью формулы:
• sin x + cos x = sqrt(2) * (sin x * (1/sqrt(2)) + cos x * (1/sqrt(2)))
• Это можно записать как: sqrt(2) * sin(x + π/4), так как 1/sqrt(2) - это коэффициенты при синусе и косинусе, соответствующие углу π/4.
2. Определение диапазона: Теперь мы знаем, что sin(x + π/4) принимает значения от -1 до 1. Следовательно:
• Наибольшее значение sin(x + π/4) равно 1.
• Наименьшее значение sin(x + π/4) равно -1.
3. Подстановка значений: Теперь подставим эти значения в наше преобразованное выражение:
• Наибольшее значение: sqrt(2) * 1 = sqrt(2).
• Наименьшее значение: sqrt(2) * (-1) = -sqrt(2).

Ответ: Наибольшее значение выражения sin x + cos x равно sqrt(2), а наименьшее значение равно -sqrt(2).