Как можно определить наибольшее и наименьшее значения заданной функции в пределах указанного промежутка?

1. y=2x + 50/x - 1, [1;10]
2. y=8 - 5x, [-1;1]
3. y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]
4. y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1]

Как можно выразить число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была минимальной?

Какими должны быть размеры прямоугольной клумбы, чтобы её площадь была максимальной, если длина заборчика составляет 12 м?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции промежуток значений алгебра 11 класс оптимизация функции сумма слагаемых минимизация выражения размеры клумбы максимальная площадь длина заборчика Новый

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Это поможет определить критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы.
2. Решить уравнение, полученное из производной. Найдите значения x, при которых производная равна нулю. Эти значения могут быть кандидатами на экстремумы.
3. Подставить найденные значения в исходную функцию. Это позволит вычислить значения функции в критических точках.
4. Проверить границы промежутка. Не забудьте подставить границы заданного промежутка в функцию и сравнить полученные значения с найденными в предыдущем шаге.
5. Сравнить все полученные значения. Наибольшее значение будет максимумом, а наименьшее - минимумом функции на заданном промежутке.

Теперь применим этот алгоритм к каждой из заданных функций:

1. y = 2x + 50/x - 1, [1;10]

1. Найдём производную: y' = 2 - 50/x^2.
2. Приравняем производную к нулю: 2 - 50/x^2 = 0. Решим уравнение: x^2 = 25, x = 5 (в пределах [1;10]).
3. Подставим x = 1, x = 5, x = 10 в функцию: y(1) = 51, y(5) = 5, y(10) = 18.
4. Наибольшее значение: 51; наименьшее: 5.

2. y = 8 - 5x, [-1;1]

1. Производная: y' = -5.
2. Производная постоянная, значит, функция линейная. Проверяем границы: y(-1) = 13, y(1) = 3.
3. Наибольшее значение: 13; наименьшее: 3.

3. y = 3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]

1. Производная: y' = sin x.
2. Найдем критические точки: sin x = 0, x = 3пи/2 (в пределах [пи/3; 3пи/2]).
3. Подставим в функцию: y(пи/3) = 3 - 1/2 = 5/2, y(3пи/2) = 4.
4. Наибольшее значение: 4; наименьшее: 5/2.

4. y = 12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1]

1. Производная: y' = 2x - x^2.
2. Решим уравнение: x(2 - x) = 0, x = 0, x = 2 (в пределах (-∞; 1]).
3. Подставим x = 1 и x = 0: y(1) = 11, y(0) = 12.
4. Наибольшее значение: 12; наименьшее: 11.

Теперь перейдем к задаче о числе 9:

Нам нужно выразить число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых a и b, так чтобы минимизировать S = 2a + b^2.

1. Выразим b через a: b = 9 - a.
2. Подставим в S: S = 2a + (9 - a)^2.
3. Раскроем скобки и упростим: S = 2a + 81 - 18a + a^2 = a^2 - 16a + 81.
4. Найдем производную S и приравняем к нулю: S' = 2a - 16 = 0, a = 8.
5. Подставим a = 8: b = 9 - 8 = 1. Минимум достигается при a = 8, b = 1.

Теперь задача о клумбе:

Площадь прямоугольной клумбы S = xy, где x и y - длины сторон. Периметр P = 2x + 2y = 12.

1. Выразим y через x: y = 6 - x.
2. Подставим в S: S = x(6 - x) = 6x - x^2.
3. Найдём производную S: S' = 6 - 2x.
4. Приравняем к нулю: 6 - 2x = 0, x = 3.
5. Подставим x = 3: y = 6 - 3 = 3. Максимальная площадь достигается при x = 3, y = 3.