Как можно определить первообразную для функции f(x) = 4x - 5x^4 - sin(2x)?

Алгебра 11 класс Интегрирование определение первообразной функция f(x) алгебра 11 класс интегрирование методы нахождения первообразной Новый

Чтобы найти первообразную для функции f(x) = 4x - 5x^4 - sin(2x), нам нужно интегрировать эту функцию по переменной x. Давайте разберем каждый член функции по отдельности.

Шаг 1: Интегрирование первого члена

Первый член функции - это 4x. Мы знаем, что интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1), где n не равен -1. В данном случае n = 1:

• Интеграл от 4x будет равен 4 * (x^(1+1) / (1+1)) = 4 * (x^2 / 2) = 2x^2.

Шаг 2: Интегрирование второго члена

Второй член - это -5x^4. Применяя тот же принцип:

• Интеграл от -5x^4 будет равен -5 * (x^(4+1) / (4+1)) = -5 * (x^5 / 5) = -x^5.

Шаг 3: Интегрирование третьего члена

Третий член - это -sin(2x). Интеграл от sin(kx) равен -1/k * cos(kx), где k - коэффициент перед x. В нашем случае k = 2:

• Интеграл от -sin(2x) будет равен -(-1/2 * cos(2x)) = (1/2)cos(2x).

Шаг 4: Сложение всех интегралов

Теперь мы можем собрать все части вместе:

• Интеграл f(x) будет равен 2x^2 - x^5 + (1/2)cos(2x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ:

Таким образом, первообразная для функции f(x) = 4x - 5x^4 - sin(2x) равна:

F(x) = 2x^2 - x^5 + (1/2)cos(2x) + C.