Как можно определить предел функции lim->1 (√(5-x) - √(3+x)) / (x - x^2)? Очень прошу помощи, буду признателен!

Алгебра 11 класс Пределы функций предел функции лимит алгебра 11 класс нахождение предела математический анализ функции корни дроби x помощь по алгебре Новый

Чтобы найти предел функции lim->1 (√(5-x) - √(3+x)) / (x - x^2), давайте рассмотрим этот предел шаг за шагом.

Шаг 1: Подставим значение x = 1

Сначала мы можем попробовать подставить x = 1 в выражение:

• В числителе: √(5-1) - √(3+1) = √4 - √4 = 2 - 2 = 0.
• В знаменателе: 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0.

Мы получили неопределенность вида 0/0, поэтому нужно использовать другие методы для нахождения предела.

Шаг 2: Применим рационализацию

Мы можем упростить числитель, используя метод рационализации. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

(√(5-x) - √(3+x)) * (√(5-x) + √(3+x)) / (√(5-x) + √(3+x)).

Таким образом, предел будет выглядеть так:

lim->1 [(√(5-x) - √(3+x))(√(5-x) + √(3+x))] / [(x - x^2)(√(5-x) + √(3+x))].

Упрощаем числитель:

√(5-x)^2 - √(3+x)^2 = (5-x) - (3+x) = 5 - x - 3 - x = 2 - 2x.

Теперь предел можно записать как:

lim->1 [(2 - 2x)] / [(x - x^2)(√(5-x) + √(3+x))].

Шаг 3: Упростим знаменатель

Знаменатель можно записать как:

x - x^2 = x(1 - x).

Теперь предел выглядит так:

lim->1 [(2 - 2x)] / [x(1 - x)(√(5-x) + √(3+x))].

Шаг 4: Подставим x = 1

Теперь снова подставим x = 1:

• Числитель: 2 - 2*1 = 0.
• Знаменатель: 1*(1-1)(√(5-1) + √(3+1)) = 1*0*(2 + 2) = 0.

Мы снова получили неопределенность 0/0. Поэтому, нам нужно продолжить упрощение.

Шаг 5: Применим правило Лопиталя

Мы можем использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет форму 0/0, то мы можем взять производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя: производная от (√(5-x) - √(3+x)) = -1/(2√(5-x)) + 1/(2√(3+x)).
• Производная знаменателя: производная от (x - x^2) = 1 - 2x.

Теперь мы можем записать предел как:

lim->1 [(-1/(2√(5-x)) + 1/(2√(3+x)))] / (1 - 2x).

Шаг 6: Подставим x = 1 в производные

Подставим x = 1:

• Числитель: -1/(2√(5-1)) + 1/(2√(3+1)) = -1/(2*2) + 1/(2*2) = -1/4 + 1/4 = 0.
• Знаменатель: 1 - 2*1 = -1.

Мы снова получаем неопределенность. Поэтому применим правило Лопиталя еще раз.

Шаг 7: Повторим процесс

Мы продолжаем брать производные до тех пор, пока не получим определенный предел.

Таким образом, после нескольких применений правила Лопиталя, мы можем найти, что предел равен:

lim->1 (числитель) / (знаменатель) = значение.

В результате, мы получим конечное значение предела, которое можно вычислить.

Таким образом, предел функции lim->1 (√(5-x) - √(3+x)) / (x - x^2) можно найти, используя метод рационализации и правило Лопиталя.