Как можно определить промежутки монотонности для следующих функций:

1. y=x^3-2x^2+3x+1
2. y=x^3-12x+1
3. y=x^3+3x+1
4. y=x^4-4x^3+10
5. y=2+3x-x^3
6. y=x^3+3x^2+3x

Алгебра 11 класс Промежутки монотонности функции промежутки монотонности функции алгебра 11 класс производная анализ функций график функции критические точки возрастание убывание задачи по алгебре Новый

Чтобы определить промежутки монотонности функций, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная показывает, как изменяется функция, и позволяет определить, где она возрастает или убывает.
2. Определить нули производной. Найдите значения x, при которых производная равна нулю. Эти значения могут быть точками, в которых функция меняет свою монотонность.
3. Построить числовую прямую. Разделите числовую прямую на интервалы, используя найденные нули производной.
4. Определить знак производной на каждом интервале. Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте их в производную. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна, функция убывает.
5. Сделать вывод о промежутках монотонности. На основе знаков производной определите, на каких интервалах функция возрастает или убывает.

Теперь применим эти шаги к каждой из предложенных функций:

• Функция: y = x^3 - 2x^2 + 3x + 1
  • Производная: y' = 3x^2 - 4x + 3
  • Найдем нули: 3x^2 - 4x + 3 = 0. Дискриминант D = (-4)^2 - 4*3*3 = 16 - 36 = -20 (нет действительных корней).
  • Знак производной: y' > 0 для всех x (функция возрастает на всей числовой прямой).
• Функция: y = x^3 - 12x + 1
  • Производная: y' = 3x^2 - 12.
  • Найдем нули: 3x^2 - 12 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2.
  • Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞).
  • Знак производной:
    • На (-∞, -2): y' > 0 (возрастает).
    • На (-2, 2): y' < 0 (убывает).
    • На (2, ∞): y' > 0 (возрастает).
• Функция: y = x^3 + 3x + 1
  • Производная: y' = 3x^2 + 3.
  • Найдем нули: 3x^2 + 3 = 0 (нет действительных корней).
  • Знак производной: y' > 0 для всех x (функция возрастает на всей числовой прямой).
• Функция: y = x^4 - 4x^3 + 10
  • Производная: y' = 4x^3 - 12x^2.
  • Найдем нули: 4x^2(x - 3) = 0 => x = 0, x = 3.
  • Интервалы: (-∞, 0), (0, 3), (3, ∞).
  • Знак производной:
    • На (-∞, 0): y' < 0 (убывает).
    • На (0, 3): y' > 0 (возрастает).
    • На (3, ∞): y' > 0 (возрастает).
• Функция: y = 2 + 3x - x^3
  • Производная: y' = 3 - 3x^2.
  • Найдем нули: 3 - 3x^2 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1.
  • Интервалы: (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞).
  • Знак производной:
    • На (-∞, -1): y' > 0 (возрастает).
    • На (-1, 1): y' < 0 (убывает).
    • На (1, ∞): y' < 0 (убывает).
• Функция: y = x^3 + 3x^2 + 3x
  • Производная: y' = 3x^2 + 6x + 3.
  • Найдем нули: 3(x^2 + 2x + 1) = 0 => (x + 1)^2 = 0 => x = -1 (двойной корень).
  • Интервалы: (-∞, -1), (-1, ∞).
  • Знак производной:
    • На (-∞, -1): y' > 0 (возрастает).
    • На (-1, ∞): y' > 0 (возрастает).

Теперь у вас есть промежутки монотонности для каждой из функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!