Определите, на каких интервалах функция y = |x - 4| + |x + 4| является монотонной.

Алгебра 11 класс Промежутки монотонности функции функция y = |x - 4| + |x + 4| монотонность функции интервалы монотонности Новый

Чтобы определить интервалы, на которых функция y = |x - 4| + |x + 4| является монотонной, нам нужно сначала понять, как ведет себя эта функция в зависимости от значений x.

Функция состоит из двух модульных выражений, и ее поведение меняется в точках, где каждое из модулей обращается в ноль. Эти точки:

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 4 = 0 → x = -4

Таким образом, нам нужно рассмотреть три интервала, которые определяются этими точками:

• (-∞, -4)
• [-4, 4]
• (4, +∞)

Теперь мы рассмотрим поведение функции на каждом из этих интервалов:

1. Интервал (-∞, -4):

   На этом интервале значения x меньше -4, поэтому:

   • |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4
   • |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4

   Тогда функция:

   y = -x + 4 - x - 4 = -2x

   Эта функция является линейной и убывающей (производная -2 < 0).

2. Интервал [-4, 4]:

   На этом интервале значения x находятся между -4 и 4, поэтому:

   • |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4
   • |x + 4| = x + 4

   Тогда функция:

   y = -x + 4 + x + 4 = 8

   Это константа, следовательно, функция не меняется и является постоянной на этом интервале.

3. Интервал (4, +∞):

   На этом интервале значения x больше 4, поэтому:

   • |x - 4| = x - 4
   • |x + 4| = x + 4

   Тогда функция:

   y = x - 4 + x + 4 = 2x

   Эта функция также линейная, но возрастающая (производная 2 > 0).

Теперь мы можем подвести итоги:

• На интервале (-∞, -4) функция убывает.
• На интервале [-4, 4] функция постоянна.
• На интервале (4, +∞) функция возрастает.

Таким образом, функция y = |x - 4| + |x + 4| является монотонной на следующих интервалах:

• (-∞, -4) - убывает
• [-4, 4] - постоянна
• (4, +∞) - возрастает