Чтобы определить промежутки монотонности функции f(x) = (x+2)^2/(x-1),нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции, определять критические точки и затем анализировать знаки производной на промежутках.

Используем правило деления для нахождения производной:

• Если u = (x + 2)^2 и v = (x - 1),то f(x) = u/v.
• По правилу производной дроби: f'(x) = (u'v - uv') / v^2.

Теперь найдем u' и v':

• u' = 2(x + 2),
• v' = 1.

Теперь подставим в формулу:

• f'(x) = (2(x + 2)(x - 1) - (x + 2)^2 * 1) / (x - 1)^2.

Раскроем скобки в числителе:

• 2(x + 2)(x - 1) = 2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4.
• (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4.

Теперь подставим это в производную:

• f'(x) = (2x^2 + 2x - 4 - (x^2 + 4x + 4)) / (x - 1)^2.

Упростим числитель:

• f'(x) = (2x^2 + 2x - 4 - x^2 - 4x - 4) / (x - 1)^2 = (x^2 - 2x - 8) / (x - 1)^2.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена:

• Для f'(x) = 0: x^2 - 2x - 8 = 0. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни: x1 = (2 + 6) / 2 = 4 и x2 = (2 - 6) / 2 = -2.

Таким образом, критические точки: x = 4 и x = -2.

Производная не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть x - 1 = 0. Это происходит при x = 1.

Теперь у нас есть три критические точки: x = -2, x = 1 и x = 4. Разобьем числовую прямую на промежутки:

• (-∞, -2),
• (-2, 1),
• (1, 4),
• (4, +∞).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих промежутков:

• Для промежутка (-∞, -2): возьмем x = -3. f'(-3) = ((-3)^2 + 6 - 8) / ((-3) - 1)^2 = (9 + 6 - 8) / 16 = 7/16 > 0 (возрастающая).
• Для промежутка (-2, 1): возьмем x = 0. f'(0) = (0^2 - 0 - 8) / (0 - 1)^2 = (-8) / 1 < 0 (убывающая).
• Для промежутка (1, 4): возьмем x = 2. f'(2) = (2^2 - 4 - 8) / (2 - 1)^2 = (-10) / 1 < 0 (убывающая).
• Для промежутка (4, +∞): возьмем x = 5. f'(5) = (5^2 - 10 - 8) / (5 - 1)^2 = (7) / 16 > 0 (возрастающая).

Таким образом, мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• Функция возрастает на промежутках: (-∞, -2) и (4, +∞).
• Функция убывает на промежутках: (-2, 1) и (1, 4).

Это и есть промежутки монотонности функции f(x) = (x+2)^2/(x-1>.