Как можно определить решение уравнения sin(6x) = 2cos(4x) - 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin(6x) cos(4x) математические уравнения тригонометрические функции Новый

Чтобы решить уравнение sin(6x) = 2cos(4x) - 2, мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и преобразования. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что мы можем выразить правую часть уравнения в более удобной форме. Заметим, что 2cos(4x) - 2 можно представить как 2(cos(4x) - 1).
2. Используем тождество: Поскольку cos(4x) - 1 = -2sin²(2x), мы можем подставить это в уравнение. Таким образом, у нас получится: sin(6x) = 2(-2sin²(2x)) = -4sin²(2x).
3. Переносим все в одну сторону: Теперь у нас есть уравнение: sin(6x) + 4sin²(2x) = 0.
4. Обозначим sin(2x): Пусть y = sin(2x). Тогда sin(6x) можно выразить через y с помощью формулы: sin(6x) = 3sin(2x) - 4sin³(2x) = 3y - 4y³.
5. Подставляем в уравнение: Теперь у нас есть: 3y - 4y³ + 4y² = 0.
6. Упрощаем уравнение: Перепишем его в стандартном виде: -4y³ + 4y² + 3y = 0.
7. Вынесем общий множитель: Вынесем y за скобки: y(-4y² + 4y + 3) = 0.
8. Решаем уравнение: У нас есть два случая:
   • Первый случай: y = 0, что означает sin(2x) = 0. Это приводит к 2x = nπ, где n — целое число. Следовательно, x = nπ/2.
   • Второй случай: Решаем квадратное уравнение -4y² + 4y + 3 = 0. Используем дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4*(-4)*3 = 16 + 48 = 64. Находим корни: y = (4 ± √64) / (-8) = (4 ± 8) / (-8). Это дает два значения:
     • y₁ = -½
     • y₂ = -3/2 (это значение не подходит, так как sin(2x) не может превышать 1).
9. Находим x: Для y₁ = -½ имеем sin(2x) = -½. Это дает: 2x = 7π/6 + 2kπ или 2x = 11π/6 + 2kπ, где k — целое число. Следовательно:
   • x = 7π/12 + kπ
   • x = 11π/12 + kπ

Таким образом, общее решение уравнения sin(6x) = 2cos(4x) - 2 можно записать как: x = nπ/2 и x = 7π/12 + kπ, x = 11π/12 + kπ, где n и k — целые числа.