Как можно определить S фигуры, ограниченной линиями:

у=х^2-4x и y=x-4, применяя интеграл?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур определение площади фигуры интеграл алгебра 11 класс у=х^2-4x y=x-4 нахождение площади ограниченные линии Новый

Чтобы определить площадь S фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x и y = x - 4, мы будем использовать интегралы. Давайте рассмотрим шаги решения этой задачи.

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:
• x^2 - 4x = x - 4.
2. Перепишем уравнение:
• x^2 - 4x - x + 4 = 0,
• x^2 - 5x + 4 = 0.
3. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9.
4. Найдем корни:
• x1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4,
• x2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.
5. Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках x = 1 и x = 4.
6. Найдем площадь S между кривыми: Для этого вычислим интеграл от разности функций на промежутке от x = 1 до x = 4:
• S = ∫(x - 4 - (x^2 - 4x)) dx от 1 до 4.
7. Упростим выражение под интегралом:
• S = ∫(x - 4 - x^2 + 4x) dx = ∫(-x^2 + 5x - 4) dx.
8. Теперь найдем неопределенный интеграл:
• ∫(-x^2 + 5x - 4) dx = -1/3 * x^3 + (5/2) * x^2 - 4x + C.
9. Теперь вычислим определенный интеграл от 1 до 4:
• S = [-1/3 * (4)^3 + (5/2) * (4)^2 - 4 * (4)] - [-1/3 * (1)^3 + (5/2) * (1)^2 - 4 * (1)].
10. Подставим значения:
• S = [-1/3 * 64 + 40 - 16] - [-1/3 + 5/2 - 4].
11. Посчитаем:
• S = [-64/3 + 24/3] - [-1/3 + 15/6 - 24/6],
• S = [-40/3] - [-1/3 - 9/6],
• S = -40/3 + 1/3 + 3/2 = -40/3 + 1/3 + 9/6.
12. Приведем к общему знаменателю и посчитаем:
• S = -40/3 + 1/3 + 3/2 = -40/3 + 1/3 + 9/6 = -40/3 + 1/3 + 3/2 = -40/3 + 1/3 + 4.5/3 = -40/3 + 5.5/3 = -34.5/3 = 11.5.

Таким образом, площадь S фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 11.5.