Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+6x+9, y=0 и x=0?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур алгебра 11 класс площадь фигуры линии y=x^2+6x+9 y=0 x=0 вычисление площади интеграл графики ограниченные фигуры Квадратные уравнения анализ функций Новый

Ответ: Площадь фигуры S = 9 ед².

Объяснение:

Для начала нам нужно определить, с какими линиями мы работаем. У нас есть парабола, заданная уравнением y = x² + 6x + 9, а также ось Ox (где y = 0) и прямая x = 0. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью Ox.

1. Находим точки пересечения:

• Решаем уравнение: x² + 6x + 9 = 0.
• Это уравнение можно упростить: (x + 3)² = 0.
• Из этого уравнения мы находим: x + 3 = 0, значит x = -3.

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точке x = -3. Поскольку мы также знаем, что прямая x = 0 – это вертикальная линия, то мы определили границы интегрирования: от x = -3 до x = 0.

2. Находим площадь фигуры с помощью определенного интеграла:

Площадь под кривой от x = -3 до x = 0 можно вычислить с помощью интеграла:

Мы находим интеграл функции y = x² + 6x + 9 по переменной x:

∫(x² + 6x + 9) dx от -3 до 0.

Это можно разбить на три отдельных интеграла:

• ∫ x² dx,
• ∫ 6x dx,
• ∫ 9 dx.

Теперь вычислим каждый из них:

• ∫ x² dx = (x³/3),
• ∫ 6x dx = 3x²,
• ∫ 9 dx = 9x.

Объединяя все эти результаты, получаем:

∫(x² + 6x + 9) dx = (x³/3 + 3x² + 9x).

Теперь подставляем пределы интегрирования от -3 до 0:

Формула будет выглядеть так:

(x³/3 + 3x² + 9x)| от -3 до 0.

Теперь подставляем значения:

В верхнем пределе (x = 0): (0³/3 + 3*0² + 9*0) = 0.

В нижнем пределе (x = -3):

• (-3)³/3 + 3*(-3)² + 9*(-3) = -27/3 + 3*9 - 27 = -9 + 27 - 27 = -9.

Теперь вычтем значения:

0 - (-9) = 0 + 9 = 9.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 9 квадратных единиц.