Помогите, пожалуйста, решить задачу:

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

• y = 4 - x^2
• y = 0
• x = -1
• x = 1

С рисунком, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур площадь фигуры алгебра 11 вычисление площади график функции интеграл ограниченные линии y = 4 - x^2 y = 0 x = -1 x = 1 Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, давайте сначала разберемся с каждой из них:

• y = 4 - x^2 - это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке (0, 4).
• y = 0 - это ось абсцисс (горизонтальная линия).
• x = -1 и x = 1 - это вертикальные линии, которые ограничивают область по оси x.

Теперь мы можем визуализировать фигуру, которую нужно найти. Область, ограниченная этими линиями, выглядит как "крышка" параболы между x = -1 и x = 1, и "основанием" служит ось абсцисс.

Следующий шаг - найти точки пересечения параболы с осью x. Для этого решим уравнение:

4 - x^2 = 0

Переносим x^2 на правую сторону:

x^2 = 4

Теперь извлекаем корень:

x = ±2

Однако, так как нас интересует область между x = -1 и x = 1, мы будем использовать только эти границы.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл:

Площадь = ∫ от -1 до 1 (4 - x^2) dx

Теперь давайте вычислим этот интеграл:

1. Найдите неопределенный интеграл функции:
∫ (4 - x^2) dx = 4x - (x^3)/3 + C
2. Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 1:
Площадь = [4(1) - (1^3)/3] - [4(-1) - ((-1)^3)/3]
3. Посчитаем это:
Площадь = [4 - 1/3] - [-4 + 1/3] = (12/3 - 1/3) - (-12/3 + 1/3) = (11/3) + (11/3) = 22/3
4. Таким образом, площадь фигуры составляет:
22/3 квадратных единиц.

Если бы мы нарисовали эту фигуру, она выглядела бы как парабола, обрезанная горизонтальной линией (осью x) и вертикальными линиями на x = -1 и x = 1. Это создает симметричную область, ограниченную этими линиями.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями!