Как можно определить tg(α), если известно, что sin(2α) = -1/3 и π/2 < α < π?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения tg(α) sin(2α) π/2 < α < π Тригонометрия алгебра 11 класс определение тангенса Новый

Чтобы определить tg(α), зная, что sin(2α) = -1/3 и π/2 < α < π, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Вспомним формулу для синуса двойного угла:
• sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α)
2. Подставим известное значение:
• 2 * sin(α) * cos(α) = -1/3
3. Введем обозначения:
• Пусть sin(α) = y и cos(α) = x.
• Тогда у нас есть уравнение: 2xy = -1/3.
4. Используем основное тригонометрическое тождество:
• sin²(α) + cos²(α) = 1, или y² + x² = 1.
• Таким образом, мы можем выразить x через y:
• x = √(1 - y²).
5. Подставим x в уравнение:
• 2y√(1 - y²) = -1/3.
• Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
• (2y√(1 - y²))² = (-1/3)².
• 4y²(1 - y²) = 1/9.
• 4y² - 4y^4 = 1/9.
6. Умножим обе стороны на 9:
• 36y² - 36y^4 = 1.
• 36y^4 - 36y² + 1 = 0.
7. Решим это квадратное уравнение относительно y²:
• Пусть z = y², тогда у нас получается уравнение:
• 36z² - 36z + 1 = 0.
• Используем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-36)² - 4 * 36 * 1 = 1296 - 144 = 1152.
• Теперь найдем корни:
• z = (36 ± √1152) / (2 * 36).
8. После нахождения z, подставляем обратно для y:
• y = √z.
9. Наконец, найдем tg(α):
• tg(α) = sin(α) / cos(α) = y / x.
• Так как мы знаем, что π/2 < α < π, то sin(α) будет положительным, а cos(α) отрицательным, следовательно, tg(α) будет отрицательным.

Таким образом, мы можем найти значение tg(α) после вычислений, связанных с корнями уравнения. Не забудьте проверить, что полученные значения соответствуют заданному диапазону угла α.