Как можно определить точку максимума функции у = корень (-6 + 12х - х²)?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций определение точки максимума функция у = корень алгебра 11 класс анализ функции максимальные значения функции Новый

Для того чтобы определить точку максимума функции у = корень (-6 + 12х - х²), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определим область определения функции

Сначала нужно выяснить, при каких значениях х выражение под корнем будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. То есть, нам нужно решить неравенство:

-6 + 12х - х² ≥ 0

Шаг 2: Преобразуем неравенство

Перепишем его в стандартной форме:

-х² + 12х - 6 ≥ 0

Умножим все части неравенства на -1 (не забывая поменять знак):

х² - 12х + 6 ≤ 0

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь найдем корни уравнения х² - 12х + 6 = 0, используя дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 1 * 6 = 144 - 24 = 120.
• Корни уравнения находятся по формуле: х = (−b ± √D) / 2a.

Подставляем значения:

• х1 = (12 + √120) / 2 ≈ 11.464.
• х2 = (12 - √120) / 2 ≈ 0.536.

Шаг 4: Определим промежутки

Теперь у нас есть корни х1 и х2. Мы можем исследовать знак выражения х² - 12х + 6 на промежутках:

• (-∞, 0.536)
• (0.536, 11.464)
• (11.464, +∞)

Проверяем знак на каждом промежутке. В итоге мы находим, что неравенство выполняется на промежутке [0.536, 11.464]. Это и есть область определения нашей функции.

Шаг 5: Найдем производную функции

Теперь найдем производную функции, чтобы определить точки максимума. Функция у = корень (-6 + 12х - х²) может быть записана как:

у = (-6 + 12х - х²)^(1/2).

Используем правило дифференцирования:

у' = (1/2)(-6 + 12х - х²)^(-1/2) * (12 - 2х).

Шаг 6: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует:

0 = 12 - 2х.

Решая это уравнение, получаем:

2х = 12 ⟹ х = 6.

Шаг 7: Проверим, находится ли критическая точка в области определения

Критическая точка х = 6 находится в области определения [0.536, 11.464]. Теперь проверим, является ли это точкой максимума. Для этого можно использовать второй производную или исследовать знак первой производной.

Шаг 8: Исследуем знак производной

Если взять значения х < 6 и х > 6, например, х = 5 и х = 7:

• При х = 5: у' > 0 (функция возрастает).
• При х = 7: у' < 0 (функция убывает).

Таким образом, в точке х = 6 функция достигает максимума.

Шаг 9: Найдем значение функции в точке максимума

Теперь подставим х = 6 в исходную функцию, чтобы найти значение максимума:

у = корень (-6 + 12 * 6 - 6²) = корень(0) = 0.

Таким образом, точка максимума функции у = корень (-6 + 12х - х²) находится в точке (6, 0).