Как можно определить точку максимума функции y=7-0,5x-2/x^2?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка максимума функция алгебра 11 класс y=7-0,5x-2/x^2 определение максимума Новый

Для определения точки максимума функции y = 7 - 0,5x - 2/x^2, нам нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и анализ её. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала мы найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

• Производная константы равна нулю.
• Производная x равна 1.
• Производная 1/x^n = -n/x^(n+1).

Теперь применим эти правила к нашей функции:

• Производная от 7 равна 0.
• Производная от -0,5x равна -0,5.
• Для -2/x^2 используем правило: производная будет 4/x^3.

Таким образом, производная функции будет:

y' = -0,5 + 4/x^3.

Шаг 2: Найдем критические точки

Теперь мы должны найти критические точки, приравняв производную к нулю:

-0,5 + 4/x^3 = 0.

Решим это уравнение:

• Переносим -0,5 на правую сторону: 4/x^3 = 0,5.
• Умножаем обе стороны на x^3: 4 = 0,5x^3.
• Умножаем обе стороны на 2: 8 = x^3.
• Теперь находим x: x = 2.

Шаг 3: Проверим, является ли эта точка максимумом

Чтобы определить, является ли найденная критическая точка максимумом, мы можем использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции:

Для y' = -0,5 + 4/x^3, производная будет:

• Производная от -0,5 равна 0.
• Производная от 4/x^3 будет -12/x^4.

Таким образом, вторая производная будет:

y'' = -12/x^4.

Теперь подставим x = 2 в вторую производную:

y''(2) = -12/(2^4) = -12/16 = -0,75.

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = 2.

Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума

Теперь мы можем найти значение функции y в точке максимума:

y(2) = 7 - 0,5(2) - 2/(2^2) = 7 - 1 - 0,5 = 5,5.

Ответ:

Таким образом, точка максимума функции y = 7 - 0,5x - 2/x^2 находится в точке (2, 5,5).