Как можно определить точку максимума функции y=7-0,5x-2/x^2?
Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка максимума функция алгебра 11 класс y=7-0,5x-2/x^2 определение максимума Новый
Для определения точки максимума функции y = 7 - 0,5x - 2/x^2, нам нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и анализ её. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем производную функции
Сначала мы найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:
Теперь применим эти правила к нашей функции:
Таким образом, производная функции будет:
y' = -0,5 + 4/x^3.
Шаг 2: Найдем критические точки
Теперь мы должны найти критические точки, приравняв производную к нулю:
-0,5 + 4/x^3 = 0.
Решим это уравнение:
Шаг 3: Проверим, является ли эта точка максимумом
Чтобы определить, является ли найденная критическая точка максимумом, мы можем использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции:
Для y' = -0,5 + 4/x^3, производная будет:
Таким образом, вторая производная будет:
y'' = -12/x^4.
Теперь подставим x = 2 в вторую производную:
y''(2) = -12/(2^4) = -12/16 = -0,75.
Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = 2.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума
Теперь мы можем найти значение функции y в точке максимума:
y(2) = 7 - 0,5(2) - 2/(2^2) = 7 - 1 - 0,5 = 5,5.
Ответ:
Таким образом, точка максимума функции y = 7 - 0,5x - 2/x^2 находится в точке (2, 5,5).