Как можно определить точку максимума функции y=(x-10)^2 (x-6) -3?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций определение точки максимума функция y=(x-10)^2 (x-6) алгебра 11 класс нахождение максимума функции анализ функций Новый

Чтобы определить точку максимума функции y = (x - 10)^2 (x - 6) - 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать производную функции для нахождения критических точек, а затем проверим, является ли найденная точка максимумом.

1. Найдем производную функции.

   Сначала упростим функцию:

   y = (x - 10)^2 (x - 6) - 3.

   Теперь найдем производную y по x:

   Используем правило произведения:

   Если u = (x - 10)^2 и v = (x - 6), то:

   y' = u'v + uv'

   Найдем u' и v':

   • u' = 2(x - 10),
   • v' = 1.

   Теперь подставим в формулу:

   y' = 2(x - 10)(x - 6) + (x - 10)^2(1).

2. Упростим производную.

   Теперь упростим выражение:

   y' = 2(x - 10)(x - 6) + (x - 10)^2 = (x - 10)(2(x - 6) + (x - 10)) = (x - 10)(3x - 22).

3. Найдем критические точки.

   Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

   (x - 10)(3x - 22) = 0.

   Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   • x - 10 = 0 → x = 10,
   • 3x - 22 = 0 → 3x = 22 → x = 22/3 ≈ 7.33.
4. Определим, является ли точка максимумом.

   Теперь нам нужно определить, являются ли найденные критические точки максимумами или минимумами. Для этого можно использовать второй производный тест:

   Найдём вторую производную функции y:

   y'' = (x - 10)(3) + (3x - 22)(1) = 3(x - 10) + (3x - 22).

   Упростим:

   y'' = 6x - 52.

   Теперь подставим критические точки:

   • Для x = 10: y''(10) = 6(10) - 52 = 60 - 52 = 8 (положительное значение, значит минимум).
   • Для x = 22/3: y''(22/3) = 6(22/3) - 52 = 44 - 52 = -8 (отрицательное значение, значит максимум).

Ответ: Точка максимума функции y = (x - 10)^2 (x - 6) - 3 находится в x = 22/3 (примерно 7.33).