Чтобы определить точку минимума функции у = х³ - 48х + 17, нам нужно следовать нескольким шагам:

1. Найти производную функции.

   Для начала, мы найдем первую производную функции. Производная показывает, как изменяется функция, и поможет нам найти критические точки.

   Производная функции у = х³ - 48х + 17 будет:

   у' = 3х² - 48.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем первую производную к нулю:

   3х² - 48 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 3х² = 48
   • х² = 16
   • х = ±4.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: х = 4 и х = -4.

3. Определить, являются ли критические точки минимумом или максимумом.

   Для этого мы можем использовать вторую производную функции. Найдем вторую производную:

   у'' = 6х.

   Теперь подставим критические точки в вторую производную:

   • Для х = 4: у''(4) = 6 * 4 = 24 (больше 0, значит, это минимум).
   • Для х = -4: у''(-4) = 6 * (-4) = -24 (меньше 0, значит, это максимум).
4. Найти значение функции в точке минимума.

   Теперь мы знаем, что минимум функции находится в точке х = 4. Найдем значение функции в этой точке:

   у(4) = 4³ - 48 * 4 + 17 = 64 - 192 + 17 = -111.

Таким образом, точка минимума функции у = х³ - 48х + 17 находится в точке (4, -111).