Чтобы определить точку минимума функции y = (x - 7)²(x + 6) + 3, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Найти производную функции.

Сначала мы найдем первую производную функции y. Это позволит нам определить критические точки, где функция может достигать минимума или максимума.

Функция y = (x - 7)²(x + 6) + 3 является произведением двух функций, поэтому мы применим правило произведения и правило цепочки.

2. Приравнять производную к нулю.

После нахождения производной, мы приравняем ее к нулю и найдем значения x, которые являются критическими точками.

3. Проверить знак производной.

Для того чтобы определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом, нужно проверить знак производной на интервалах, разделенных критическими точками.

4. Найти вторую производную.

Также можно использовать вторую производную. Если вторая производная в критической точке положительна, то это точка минимума, если отрицательна — максимум.

5. Подставить значение x в исходную функцию.

Наконец, подставив найденные значения x в исходную функцию, мы сможем найти соответствующие значения y, которые будут координатами точки минимума.

Теперь давайте выполним эти шаги на практике:

1. Первая производная функции y = (x - 7)²(x + 6) + 3:
   • y' = 2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)² * 1
2. Приравниваем производную к нулю:
   • 0 = 2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)²
3. Решаем уравнение для нахождения x.
4. Проверяем знак производной на интервалах.
5. Находим вторую производную и проверяем ее знак в критических точках.
6. Подставляем найденные значения x в исходную функцию для получения y.

В результате выполнения всех этих шагов мы сможем определить точку минимума функции.