Как можно определить значение sinx + cosx, если известно, что sin^3x + cos^3x = 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения и тождества значение sinx + cosx sin^3x + cos^3x = 1 алгебра 11 класс тригонометрические функции решение уравнения Новый

Чтобы найти значение выражения sinx + cosx, зная, что sin^3x + cos^3x = 1, мы можем воспользоваться формулой для суммы кубов. Формула выглядит следующим образом:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

В нашем случае, пусть:

• a = sinx
• b = cosx

Тогда у нас есть:

sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinx * cosx + cos^2x)

Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Подставим это в формулу:

sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(1 - sinx * cosx)

Теперь подставим значение, которое нам дано:

(sinx + cosx)(1 - sinx * cosx) = 1

Обозначим sinx + cosx как S:

S(1 - sinx * cosx) = 1

Теперь нам нужно выразить sinx * cosx через S. Используем следующее:

(sinx + cosx)^2 = sin^2x + cos^2x + 2sinx * cosx

Подставим sin^2x + cos^2x = 1:

S^2 = 1 + 2sinx * cosx

Отсюда мы можем выразить sinx * cosx:

sinx * cosx = (S^2 - 1) / 2

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

S(1 - (S^2 - 1) / 2) = 1

Упростим это выражение:

S(1 - (S^2 - 1) / 2) = S(1 - S^2/2 + 1/2) = S((3/2) - S^2/2)

Таким образом, у нас получается:

S((3 - S^2) / 2) = 1

Умножим обе стороны на 2:

S(3 - S^2) = 2

Теперь раскроем скобки:

3S - S^3 = 2

Перепишем уравнение:

S^3 - 3S + 2 = 0

Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Попробуем найти корни, подставляя простые значения:

• Если S = 1: 1^3 - 3*1 + 2 = 0. Значит, S = 1 — это корень.
• Теперь мы можем разложить кубическое уравнение на множители:

(S - 1)(S^2 + S - 2) = 0

Теперь решим квадратное уравнение S^2 + S - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

S = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, у нас есть два корня:

• S1 = (2) / 2 = 1
• S2 = (-4) / 2 = -2

Таким образом, возможные значения sinx + cosx равны 1 и -2. Однако, поскольку sinx и cosx всегда находятся в диапазоне от -1 до 1, значение S = -2 не может быть достигнуто.

Следовательно, мы получаем, что:

sinx + cosx = 1