Как можно подтвердить тождество cos(4α) + 1 = (1/2)sin(4α)(cot(α) - tan(α)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества тождество косинуса подтверждение тождества алгебра 11 класс тригонометрические функции решение задач по алгебре Новый

Чтобы подтвердить тождество cos(4α) + 1 = (1/2)sin(4α)(cot(α) - tan(α), мы начнем с преобразования правой части уравнения и будем использовать тригонометрические идентичности. Давайте разберем шаги:

1. Преобразуем правую часть:
• Запишем cot(α) и tan(α) через синусы и косинусы:
• cot(α) = cos(α)/sin(α)
• tan(α) = sin(α)/cos(α)
• Тогда разность cot(α) - tan(α) можно записать так:
• cot(α) - tan(α) = (cos(α)/sin(α)) - (sin(α)/cos(α))
• Приведем к общему знаменателю:
• cot(α) - tan(α) = (cos²(α) - sin²(α)) / (sin(α)cos(α))
2. Подставим это выражение в правую часть тождества:
• Теперь у нас есть:
• (1/2)sin(4α) * ((cos²(α) - sin²(α)) / (sin(α)cos(α)))
• Упрощаем это выражение:
• (1/2) * sin(4α) * (cos²(α) - sin²(α)) / (sin(α)cos(α))
• Здесь мы можем использовать формулу для sin(4α): sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α), где sin(2α) = 2sin(α)cos(α).
• Таким образом, sin(4α) = 4sin(α)cos(α)(cos²(α) - sin²(α)).
3. Теперь упростим правую часть:
• Подставив выражение для sin(4α), получим:
• (1/2) * (4sin(α)cos(α)(cos²(α) - sin²(α))) * ((cos²(α) - sin²(α)) / (sin(α)cos(α)))
• После сокращения (sin(α)cos(α)) получим:
• 2(cos²(α) - sin²(α))².
• Теперь, используя формулу для cos(4α): cos(4α) = cos²(2α) - sin²(2α) = 2cos²(2α) - 1.
• Таким образом, мы можем записать cos(4α) + 1 = 2(cos²(2α)).
4. Теперь сравним с левой частью:
• Мы получили правую часть 2(cos²(2α)), а левая часть равна cos(4α) + 1.
• Таким образом, тождество подтверждено:
• cos(4α) + 1 = (1/2)sin(4α)(cot(α) - tan(α)).

Таким образом, мы подтвердили тождество. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать другие примеры, не стесняйтесь спрашивать!