Как можно проанализировать функцию y=x^(2/3)*e^(-x), определить асимптоты, экстремумы, точки перегиба и построить график этой функции?

Алгебра 11 класс Исследование функций анализ функции y=x^(2/3)*e^(-x) асимптоты экстремумы точки перегиба график функции Новый

Чтобы проанализировать функцию y = x^(2/3) * e^(-x), мы пройдем несколько шагов: найдем производные для определения экстремумов и точек перегиба, а также исследуем асимптоты. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Определение области определения

Функция y = x^(2/3) * e^(-x) определена для всех x, так как x^(2/3) существует для всех действительных x, а e^(-x) тоже определена для всех x.

2. Нахождение производных

Для нахождения экстремумов и точек перегиба нам нужно вычислить первую и вторую производные функции.

• Первая производная: Используем правило произведения.
• y' = (x^(2/3))' * e^(-x) + x^(2/3) * (e^(-x))'
• (x^(2/3))' = (2/3)x^(-1/3), (e^(-x))' = -e^(-x)
• Подставляем: y' = (2/3)x^(-1/3) * e^(-x) - x^(2/3) * e^(-x)
• y' = e^(-x) * [(2/3)x^(-1/3) - x^(2/3)]

Теперь найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

• e^(-x) не равно нулю, поэтому решаем: (2/3)x^(-1/3) - x^(2/3) = 0
• Соберем все в одну сторону: (2/3)x^(-1/3) = x^(2/3)
• Умножим обе стороны на x^(1/3): 2/3 = x
• Таким образом, критическая точка: x = 2/3.

3. Нахождение экстремумов

Чтобы определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом, используем вторую производную:

• Вторая производная: y'' = (y')'
• Найдите производную от первой производной, используя правило произведения и цепное правило.
• После вычислений, подставьте x = 2/3 в y'' и определите знак.

4. Нахождение точек перегиба

Для нахождения точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение:

• y'' = 0
• Решите уравнение для x, чтобы найти точки перегиба.

5. Анализ асимптот

Теперь проанализируем асимптоты:

• Горизонтальные асимптоты: Исследуем поведение функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.
• При x → ∞: e^(-x) стремится к 0, значит y стремится к 0.
• При x → -∞: x^(2/3) стремится к бесконечности, но e^(-x) также стремится к бесконечности, и функция ведет себя как бесконечно большая.

6. Построение графика

Теперь, имея информацию о критических точках, экстремумах и асимптотах, можно построить график функции:

• Отметьте критическую точку и определите, является ли она минимумом или максимумом.
• Нанесите точки перегиба на график.
• Укажите асимптоты.
• С помощью точек и информации о поведении функции в различных интервалах нарисуйте график.

Таким образом, мы проанализировали функцию y = x^(2/3) * e^(-x) и получили все необходимые характеристики для построения графика.