Как можно проанализировать функцию y = x в кубе - x в квадрате + 2 на предмет ее промежутков возрастания и убывания, выпуклости и точек перегиба? Кроме того, каким образом можно построить график этой функции?

Алгебра 11 класс Исследование функций анализ функции промежутки возрастания промежутки убывания выпуклость функции точки перегиба график функции y = x^3 - x^2 + 2 алгебра 11 класс Новый

Для анализа функции y = x^3 - x^2 + 2 на предмет промежутков возрастания и убывания, выпуклости и точек перегиба, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Нахождение производной функции.

Первым шагом является нахождение первой производной функции, которая поможет нам определить промежутки возрастания и убывания. Для функции y = x^3 - x^2 + 2 производная будет:

• y' = 3x^2 - 2x.

2. Нахождение критических точек.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 3x^2 - 2x = 0.
• Факторизуем: x(3x - 2) = 0.
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2/3.

3. Определение промежутков возрастания и убывания.

Теперь мы можем определить знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками:

• Для x < 0: выберем x = -1. y'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 (положительное).
• Для 0 < x < 2/3: выберем x = 0.5. y'(0.5) = 3(0.5)^2 - 2(0.5) = 0.75 - 1 = -0.25 (отрицательное).
• Для x > 2/3: выберем x = 1. y'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 (положительное).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2/3, +∞), и убывает на интервале (0, 2/3).

4. Нахождение второй производной.

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить выпуклость функции и точки перегиба:

• y'' = 6x - 2.

5. Нахождение точек перегиба.

Приравняем вторую производную к нулю:

• 6x - 2 = 0.
• 6x = 2, x = 1/3.

Теперь определим знаки второй производной на интервалах, разделенных точкой x = 1/3:

• Для x < 1/3: выберем x = 0. y''(0) = 6(0) - 2 = -2 (отрицательное, значит функция вогнута).
• Для x > 1/3: выберем x = 1. y''(1) = 6(1) - 2 = 4 (положительное, значит функция выпукла).

Таким образом, функция вогнута на интервале (-∞, 1/3) и выпукла на интервале (1/3, +∞). Точка перегиба находится в x = 1/3.

6. Построение графика функции.

Теперь, когда мы проанализировали функцию, можем построить график:

1. Нанесите критические точки (0 и 2/3) и точку перегиба (1/3) на ось x.
2. Определите значения функции в этих точках:
• y(0) = 2;
• y(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 + 2 = 8/27 - 4/9 + 2 = 8/27 - 12/27 + 54/27 = 50/27;
• y(1/3) = (1/3)^3 - (1/3)^2 + 2 = 1/27 - 1/9 + 2 = 1/27 - 3/27 + 54/27 = 52/27.
3. Постройте график, соединяя точки, учитывая найденные промежутки возрастания и убывания, а также выпуклость.

Таким образом, мы проанализировали функцию y = x^3 - x^2 + 2 и построили ее график, учитывая все необходимые аспекты.