Как можно произвести умножение и деление комплексных чисел Z1=5i+7 и Z2=7i+5? Прошу подробно объяснить процесс решения этой задачи.

Алгебра 11 класс Комплексные числа умножение комплексных чисел деление комплексных чисел решение задачи алгебра комплексные числа 11 класс Z1 Z2 комплексные числа Новый

Умножение и деление комплексных чисел может показаться сложным на первый взгляд, но если следовать определенным шагам, то процесс становится понятным. Давайте рассмотрим, как произвести умножение и деление комплексных чисел Z1 и Z2, где Z1 = 5i + 7 и Z2 = 7i + 5.

1. Умножение комплексных чисел

Чтобы умножить два комплексных числа, мы используем распределительное свойство (формула (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²). В нашем случае:

• Z1 = 7 + 5i
• Z2 = 5 + 7i

Теперь умножим Z1 и Z2:

1. Сначала перемножим действительные части: 7 * 5 = 35.
2. Теперь перемножим действительную часть первого числа на мнимую часть второго: 7 * 7i = 49i.
3. Перемножим мнимую часть первого числа на действительную часть второго: 5i * 5 = 25i.
4. Наконец, перемножим мнимые части: 5i * 7i = 35i². Поскольку i² = -1, это будет равно -35.

Теперь сложим все полученные результаты:

• 35 (действительная часть)
• 49i + 25i = 74i (мнимая часть)
• -35 (от мнимого произведения)

Таким образом, окончательный результат будет:

Z1 * Z2 = (35 - 35) + 74i = 0 + 74i = 74i.

2. Деление комплексных чисел

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя. Сопряженное число к Z2 = 5 + 7i будет Z2* = 5 - 7i.

Теперь выполним деление Z1/Z2:

• Числитель: Z1 * Z2* = (7 + 5i)(5 - 7i)
• Знаменатель: Z2 * Z2* = (5 + 7i)(5 - 7i)

Вычислим числитель:

1. 7 * 5 = 35
2. 7 * (-7i) = -49i
3. 5i * 5 = 25i
4. 5i * (-7i) = -35i² = 35 (так как i² = -1)

Теперь сложим все результаты:

• 35 + 35 = 70 (действительная часть)
• -49i + 25i = -24i (мнимая часть)

Итак, числитель равен:

70 - 24i.

Теперь вычислим знаменатель:

1. (5 + 7i)(5 - 7i) = 5² - (7i)² = 25 - 49(-1) = 25 + 49 = 74.

Теперь мы можем выразить результат деления:

Таким образом, Z1/Z2 = (70 - 24i) / 74.

Это можно представить в виде:

• Действительная часть: 70/74 = 35/37.
• Мнимая часть: -24/74 = -12/37.

Итак, окончательный результат деления:

Z1 / Z2 = 35/37 - 12/37 i.

Таким образом, мы рассмотрели умножение и деление комплексных чисел Z1 и Z2. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!