Как найти сумму, разность, произведение и отношение комплексных чисел:

• z1 = 3
• z2 = cos(-p/4) + i sin(-p/4)

Алгебра 11 класс Комплексные числа сумма комплексных чисел разность комплексных чисел произведение комплексных чисел отношение комплексных чисел Z1 Z2 cos sin алгебра комплексных чисел Новый

Давайте рассмотрим, как найти сумму, разность, произведение и отношение комплексных чисел z1 и z2, где:

• z1 = 3
• z2 = cos(-π/4) + i sin(-π/4)

Сначала упростим z2. Значения косинуса и синуса для угла -π/4 равны:

• cos(-π/4) = √2/2
• sin(-π/4) = -√2/2

Таким образом, z2 можно записать как:

z2 = √2/2 - i√2/2

Теперь, когда мы знаем значения z1 и z2, можем перейти к вычислениям.

1. Сумма комплексных чисел (z1 + z2)

Сложим z1 и z2:

z1 + z2 = 3 + (√2/2 - i√2/2)

Объединяем действительные и мнимые части:

z1 + z2 = (3 + √2/2) - i√2/2

2. Разность комплексных чисел (z1 - z2)

Теперь найдем разность:

z1 - z2 = 3 - (√2/2 - i√2/2)

Упрощаем:

z1 - z2 = 3 - √2/2 + i√2/2

3. Произведение комплексных чисел (z1 * z2)

Теперь умножим z1 на z2:

z1 * z2 = 3 * (√2/2 - i√2/2)

Умножаем каждую часть:

z1 * z2 = (3√2/2) - (3i√2/2)

4. Отношение комплексных чисел (z1 / z2)

Теперь найдем отношение z1 к z2:

z1 / z2 = 3 / (√2/2 - i√2/2)

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

z1 / z2 = 3 * (√2/2 + i√2/2) / ((√2/2)^2 + (√2/2)^2)

Сначала найдем знаменатель:

• ((√2/2)^2 + (√2/2)^2) = (2/4 + 2/4) = 1

Теперь числитель:

3 * (√2/2 + i√2/2) = (3√2/2) + (3i√2/2)

Таким образом, отношение:

z1 / z2 = (3√2/2) + (3i√2/2)

Итак, мы нашли:

• Сумма: (3 + √2/2) - i√2/2
• Разность: (3 - √2/2) + i√2/2
• Произведение: (3√2/2) - (3i√2/2)
• Отношение: (3√2/2) + (3i√2/2)