Как можно провести исследование функции f(x)=x^3-16x?

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции алгебра 11 класс f(x)=x^3-16x анализ функции график функции корни уравнения производная функции Новый

Исследование функции f(x) = x^3 - 16x включает в себя несколько шагов, которые помогут понять поведение функции, её график и основные характеристики. Давайте рассмотрим эти шаги подробно.

1. Найти область определения функции

Функция f(x) = x^3 - 16x является многочленом, и область определения для многочленов - это все действительные числа. Таким образом, область определения:

• Область определения: (-∞, +∞)

2. Найти производную функции

Для исследования функции необходимо найти её первую производную:

• f'(x) = 3x^2 - 16

3. Найти критические точки

Критические точки находятся при равенстве первой производной нулю:

• 3x^2 - 16 = 0
• 3x^2 = 16
• x^2 = 16/3
• x = ±√(16/3) = ±(4/√3) ≈ ±2.31

4. Определить знаки производной

Теперь мы можем исследовать знаки производной для определения интервалов возрастания и убывания функции:

• Рассмотрим интервалы: (-∞, -2.31), (-2.31, 2.31), (2.31, +∞).
• Выберем тестовые точки в каждом интервале:
• Для x = -3: f'(-3) = 3*(-3)^2 - 16 = 27 - 16 = 11 (положительное)
• Для x = 0: f'(0) = 3*0^2 - 16 = -16 (отрицательное)
• Для x = 3: f'(3) = 3*3^2 - 16 = 27 - 16 = 11 (положительное)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -2.31) и (2.31, +∞), и убывает на интервале (-2.31, 2.31).

5. Найти вторую производную

Вторая производная поможет определить выпуклость функции:

• f''(x) = 6x

Теперь найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

• 6x = 0
• x = 0

Теперь определим знак второй производной:

• Для x < 0: f''(x) < 0 (выпуклая вниз)
• Для x > 0: f''(x) > 0 (выпуклая вверх)

Таким образом, в точке x = 0 функция имеет точку перегиба.

6. Найти значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• f(-2.31) ≈ (-2.31)^3 - 16*(-2.31) ≈ 10.4
• f(2.31) ≈ (2.31)^3 - 16*(2.31) ≈ -10.4

7. Построить график функции

На основе полученных данных можно построить график функции, учитывая:

• Область определения: (-∞, +∞)
• Критические точки: x = -2.31 (максимум), x = 2.31 (минимум)
• Точка перегиба: x = 0
• Знаки производной и выпуклости.

В результате мы получаем полное исследование функции f(x) = x^3 - 16x, что позволяет понять её поведение и построить график.