Решение неравенств с тангенсом требует понимания свойств этой функции и ее периодичности. Тангенс имеет период π, что означает, что его значения повторяются каждые π радиан. Давайте рассмотрим каждое из предложенных неравенств по отдельности.

Сначала найдем значение угла, при котором tgx = √3/2. Это происходит в первом и третьем квадрантах:

• В первом квадранте: x = π/3 (60 градусов)
• В третьем квадранте: x = π/3 + π = 4π/3 (240 градусов)

Теперь, поскольку тангенс положителен в первом и третьем квадрантах, неравенство tgx > √3/2 будет выполняться в интервалах:

• x ∈ (π/3 + kπ, π/2 + kπ) для k ∈ Z (первый квадрант)
• x ∈ (4π/3 + kπ, 3π/2 + kπ) для k ∈ Z (третий квадрант)

Теперь найдем значения угла, при которых tgx = -√3/3. Это происходит во втором и четвертом квадрантах:

• Во втором квадранте: x = 5π/6 (150 градусов)
• В четвертом квадранте: x = 5π/6 + π = 11π/6 (330 градусов)

Неравенство tgx < -√3/3 будет выполняться в интервалах:

• x ∈ (π/2 + kπ, 5π/6 + kπ) для k ∈ Z (второй квадрант)
• x ∈ (11π/6 + kπ, 3π/2 + kπ) для k ∈ Z (четвертый квадрант)

Значение угла, при котором tgx = √3, также находится в первом и третьем квадрантах:

• В первом квадранте: x = π/3 (60 градусов)
• В третьем квадранте: x = π/3 + π = 4π/3 (240 градусов)

Неравенство tgx > √3 будет выполняться в интервалах:

• x ∈ (π/3 + kπ, π/2 + kπ) для k ∈ Z (первый квадрант)
• x ∈ (4π/3 + kπ, 3π/2 + kπ) для k ∈ Z (третий квадрант)

Значение угла, при котором tgx = -1, происходит в третьем и первом квадрантах:

• В третьем квадранте: x = 7π/4 (315 градусов)
• В первом квадранте: x = 3π/4 (135 градусов)

Неравенство tgx > -1 будет выполняться в интервалах:

• x ∈ (3π/4 + kπ, 5π/4 + kπ) для k ∈ Z (первый и третий квадранты)

Таким образом, мы нашли решения для всех предложенных неравенств. Не забывайте, что для каждого неравенства k ∈ Z обозначает, что мы можем добавлять или вычитать целые кратные π, чтобы получить все возможные решения.