Чтобы решить неравенство tg(x/7 + π/6) > 0, давайте разберем его шаг за шагом.

Функция тангенса положительна в интервалах, где ее аргумент находится в определенных квадрантах. В частности, тангенс положителен в первом и третьем квадрантах.

Тангенс положителен, когда:

• 0 < x/7 + π/6 < π/2 (первый квадрант)
• π < x/7 + π/6 < 3π/2 (третий квадрант)

Решим первое неравенство:

1. 0 < x/7 + π/6 < π/2
2. Сначала вычтем π/6 из всех частей неравенства:
3. -π/6 < x/7 < π/2 - π/6
4. Теперь найдем π/2 - π/6. Приведем к общему знаменателю:
5. π/2 = 3π/6, значит π/2 - π/6 = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3.
6. Теперь у нас есть: -π/6 < x/7 < π/3.
7. Умножим все части неравенства на 7 (помните, что при умножении на положительное число знак неравенства не меняется):
8. -7π/6 < x < 7π/3.

Теперь решим второе неравенство:

1. π < x/7 + π/6 < 3π/2.
2. Вычтем π/6 из всех частей:
3. π - π/6 < x/7 < 3π/2 - π/6.
4. Сначала найдем π - π/6. Приведем к общему знаменателю:
5. π = 6π/6, значит π - π/6 = 6π/6 - π/6 = 5π/6.
6. Теперь найдем 3π/2 - π/6, приводим к общему знаменателю:
7. 3π/2 = 9π/6, значит 3π/2 - π/6 = 9π/6 - π/6 = 8π/6 = 4π/3.
8. Теперь у нас есть: 5π/6 < x/7 < 4π/3.
9. Умножим все части неравенства на 7:
10. 35π/6 < x < 28π/3.

Теперь у нас есть два интервала:

• Первый интервал: -7π/6 < x < 7π/3.
• Второй интервал: 35π/6 < x < 28π/3.

Чтобы записать окончательное решение, мы можем объединить эти два интервала. Однако стоит отметить, что 35π/6 и 28π/3 находятся за пределами первого интервала. Поэтому, окончательное решение будет:

x ∈ (-7π/6, 7π/3) ∪ (35π/6, 28π/3).

Таким образом, мы нашли все значения x, для которых неравенство tg(x/7 + π/6) > 0 выполняется.