Как можно решить неравенство: cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства алгебра 11 класс cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0 математический анализ тригонометрические неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0, давайте начнем с того, что мы можем выразить cos(3x) через cos(x) с помощью тригонометрической формулы.

Существует формула для косинуса тройного угла:

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Теперь подставим это в наше неравенство:

4cos^3(x) - 3cos(x) + 2cos(x) ≥ 0

Упростим неравенство:

4cos^3(x) - cos(x) ≥ 0

Теперь вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(4cos^2(x) - 1) ≥ 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое должно быть больше или равно нулю. Это означает, что один из множителей должен быть равен нулю или оба должны быть положительными. Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

• 1. cos(x) = 0

Косинус равен нулю на значениях:

x = (2n + 1) * π / 2, где n – целое число.

• 2. 4cos^2(x) - 1 = 0

Решим это уравнение:

4cos^2(x) = 1

cos^2(x) = 1/4

cos(x) = ±1/2

Косинус равен 1/2 на значениях:

x = 2nπ ± π/3, где n – целое число.

Косинус равен -1/2 на значениях:

x = 2nπ ± 2π/3, где n – целое число.

Теперь у нас есть критические точки:

• x = (2n + 1) * π / 2
• x = 2nπ ± π/3
• x = 2nπ ± 2π/3

Теперь определим, на каких интервалах произведение cos(x)(4cos^2(x) - 1) будет больше или равно нулю. Для этого нужно проверить знаки на интервалах, образованных этими точками.

1. Выберем тестовые точки в интервалах между критическими точками.

2. Проверим знак произведения на каждом интервале.

После проверки всех интервалов мы можем записать итоговые решения неравенства. В итоге, неравенство будет выполнено на тех интервалах, где произведение cos(x)(4cos^2(x) - 1) ≥ 0.

Таким образом, окончательное решение неравенства cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0 будет представлять собой объединение всех интервалов, где это условие выполняется.