Для решения неравенства √3 sin x + cos x > 0, давайте сначала преобразуем его в более удобный вид.

Шаг 1: Преобразование неравенства

Мы можем выразить неравенство в виде:

cos x > -√3 sin x

Теперь мы можем разделить обе стороны неравенства на cos x, но нужно помнить, что знак неравенства изменится, если cos x < 0. Поэтому мы рассмотрим два случая: когда cos x > 0 и когда cos x < 0.

Шаг 2: Анализ первого случая (cos x > 0)

• В этом случае можем делить обе стороны на cos x, и неравенство останется с тем же знаком:
• √3 tan x + 1 > 0
• tan x > -1/√3

Зная, что tan x = -1/√3 соответствует углам x = 5π/6 + kπ, где k - любое целое число. Мы знаем, что tan x > -1/√3 будет выполняться в интервалах:

• (-π/3 + kπ, π/3 + kπ), где k - целое число.

Шаг 3: Анализ второго случая (cos x < 0)

• В этом случае, при делении на cos x, знак неравенства изменится:
• √3 tan x + 1 < 0
• tan x < -1/√3

Зная, что tan x = -1/√3 соответствует углам x = 5π/6 + kπ, мы видим, что tan x < -1/√3 будет выполняться в интервалах:

• (π/3 + kπ, 2π/3 + kπ), где k - целое число.

Шаг 4: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить оба случая:

• Первый случай: (-π/3 + kπ, π/3 + kπ)
• Второй случай: (π/3 + kπ, 2π/3 + kπ)

Таким образом, общее решение будет выглядеть как объединение этих интервалов:

• (-π/3 + kπ, 2π/3 + kπ), где k - целое число.

Ответ: Решение неравенства √3 sin x + cos x > 0: x ∈ (-π/3 + kπ, 2π/3 + kπ), где k - целое число.