Как можно решить неравенство ctg(x/2) < 1?

Алгебра 11 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства ctg(x/2) неравенство ctg алгебра 11 класс математические неравенства методы решения неравенств

Чтобы решить неравенство ctg(x/2) < 1, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание функции котангенса

Функция котангенса определена как:

• ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Котангенс положителен, когда синус положителен, и отрицателен, когда синус отрицателен. Также стоит помнить, что ctg(x) имеет период π.

Шаг 2: Переписывание неравенства

Неравенство ctg(x/2) < 1 можно переписать следующим образом:

• ctg(x/2) - 1 < 0

Шаг 3: Найдем точки, где ctg(x/2) = 1

Чтобы найти, когда ctg(x/2) = 1, мы можем решить уравнение:

• ctg(x/2) = 1

Это уравнение выполняется, когда:

• cos(x/2) = sin(x/2)

Это происходит, когда:

• x/2 = π/4 + kπ, где k - целое число.

Следовательно,:

• x = π/2 + 2kπ.

Шаг 4: Определение интервалов

Теперь мы знаем, что ctg(x/2) = 1 в точках x = π/2 + 2kπ. Чтобы определить, где ctg(x/2) < 1, нам нужно исследовать промежутки между этими точками.

Шаг 5: Исследование знака функции в интервалах

Рассмотрим промежутки:

• (-∞, π/2)
• (π/2, 3π/2)
• (3π/2, 5π/2)

Теперь подберем тестовые точки в каждом интервале:

• Для интервала (-∞, π/2): выберем x = 0. Тогда ctg(0) = ∞ (положительно).
• Для интервала (π/2, 3π/2): выберем x = π. Тогда ctg(π/2) = 0 (отрицательно).
• Для интервала (3π/2, 5π/2): выберем x = 2π. Тогда ctg(π) = ∞ (положительно).

Шаг 6: Запись решения

Из анализа видно, что неравенство ctg(x/2) < 1 выполняется в интервале:

• (π/2, 3π/2) + 2kπ, где k - целое число.

Ответ:

Решение неравенства ctg(x/2) < 1:

x ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ), где k - целое число.

Привет! Давай разберемся с неравенством ctg(x/2) < 1. Это довольно интересная задача! Вот как можно подойти к её решению:

1. Вспомним определение котангенса: ctg(x) = cos(x) / sin(x). Поэтому ctg(x/2) < 1 можно переписать как:
2. Перепишем неравенство: ctg(x/2) < 1 <=> cos(x/2) / sin(x/2) < 1.
3. Умножим обе стороны на sin(x/2): Здесь важно помнить, что знак неравенства может измениться в зависимости от знака sin(x/2). Поэтому нужно рассмотреть два случая:
• Случай 1: sin(x/2) > 0.
• Случай 2: sin(x/2) < 0.

Теперь давай посмотрим на каждый случай отдельно:

1. Случай 1: Если sin(x/2) > 0, то мы можем умножить на него и не менять знак. Получаем:
• cos(x/2) < sin(x/2).
• Это неравенство выполняется, когда x/2 находится в интервале (π/4 + kπ, 5π/4 + kπ), где k - любое целое число.
• Умножая на 2, получаем: (π/2 + 2kπ, 5π/2 + 2kπ).
2. Случай 2: Если sin(x/2) < 0, то умножая на него, мы меняем знак неравенства:
• cos(x/2) > sin(x/2).
• Это неравенство выполняется, когда x/2 находится в интервале (-π/4 + kπ, 3π/4 + kπ).
• Умножая на 2, получаем: (-π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ).

В итоге, мы получаем два интервала:

• Первый интервал: (π/2 + 2kπ, 5π/2 + 2kπ).
• Второй интервал: (-π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ).

Надеюсь, это поможет тебе разобраться с неравенством! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать!