Как можно решить неравенство log0,3(x-1) > log0,3(x^2 + 2x - 3)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифм алгебра решение неравенства x-1 x^2 + 2x - 3 log0,3 Новый

Чтобы решить неравенство log_0,3(x-1) > log_0,3(x² + 2x - 3), давайте сначала упростим его. Мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что если log_a(b) > log_a(c) и основание логарифма a меньше 1, то b < c.

Таким образом, мы можем переписать наше неравенство:

• x - 1 < x² + 2x - 3

Теперь упростим неравенство:

• Переносим все слагаемые в одну сторону:
• 0 < x² + 2x - 3 - (x - 1)
• 0 < x² + 2x - 3 - x + 1
• 0 < x² + x - 2

Теперь у нас есть неравенство:

• x² + x - 2 > 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² + x - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
• Корни уравнения:
• x₁ = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1
• x₂ = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2

Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -2. Чтобы определить, где функция x² + x - 2 положительна, рассмотрим промежутки:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого промежутка:

• Для промежутка (-∞, -2), например, x = -3: (-3)² + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 (положительно)
• Для промежутка (-2, 1), например, x = 0: (0)² + 0 - 2 = -2 < 0 (отрицательно)
• Для промежутка (1, +∞), например, x = 2: (2)² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 (положительно)

Таким образом, функция x² + x - 2 положительна на промежутках:

• (-∞, -2)
• (1, +∞)

Но не забываем, что логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому мы должны также учитывать условия:

• x - 1 > 0 (x > 1)
• x² + 2x - 3 > 0 (что уже учтено)

Итак, итоговое решение неравенства:

• x > 1

Ответ: x > 1