Как можно решить неравенство log0,5(x^2+1) меньше или равно log0,5(2x-5)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы алгебра решение x^2 2x 11 класс math математика учебник Новый

Для решения неравенства log_0.5(x² + 1) ≤ log_0.5(2x - 5) мы будем использовать свойства логарифмов и неравенств.

Шаг 1: Применение свойства логарифмов

Поскольку основание логарифма (0.5) меньше 1, то логарифмическая функция убывает. Это означает, что если log_0.5(A) ≤ log_0.5(B), то A ≥ B. Поэтому мы можем переписать наше неравенство:

x² + 1 ≥ 2x - 5

Шаг 2: Приведение неравенства к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

x² - 2x + 1 + 5 ≥ 0

x² - 2x + 6 ≥ 0

Шаг 3: Анализ квадратного выражения

Теперь мы можем рассмотреть квадратное выражение x² - 2x + 6. Для этого найдем его дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * 6 = 4 - 24 = -20

Дискриминант отрицательный, что означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней и всегда положительно.

Шаг 4: Определение области решений

Поскольку x² - 2x + 6 всегда больше 0 для всех x, то неравенство x² - 2x + 6 ≥ 0 выполняется для всех значений x. Но нам нужно учитывать область определения логарифмов.

Шаг 5: Область определения

Логарифм log_0.5(2x - 5) определен, когда 2x - 5 > 0. Решим это неравенство:

• 2x > 5
• x > 2.5

Шаг 6: Запись окончательного ответа

Таким образом, неравенство log_0.5(x² + 1) ≤ log_0.5(2x - 5) выполняется для всех x, удовлетворяющих условию x > 2.5.

Ответ: x > 2.5.