Как можно решить неравенство log3(x^2+6) < log3(5x)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство log3 решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы x^2+6 5x математические неравенства методы решения графики функций Новый

Для решения неравенства log3(x^2+6) < log3(5x) мы можем воспользоваться свойствами логарифмов. В частности, если логарифмы имеют одинаковое основание, то неравенство можно упростить, убрав логарифмы, при условии, что аргументы логарифмов положительны.

1. Определим область допустимых значений:
   • Аргумент log3(x^2 + 6) должен быть больше 0: x^2 + 6 > 0. Это неравенство всегда выполняется, так как x^2 всегда неотрицательно, а 6 - положительное число.
   • Аргумент log3(5x) должен быть больше 0: 5x > 0. Это означает, что x > 0.
2. Убираем логарифмы: Теперь, когда мы знаем, что x > 0, можем убрать логарифмы из неравенства:

   log3(x^2 + 6) < log3(5x) эквивалентно x^2 + 6 < 5x.

3. Переписываем неравенство: Преобразуем его:

   x^2 - 5x + 6 < 0.

4. Находим корни квадратного уравнения: Для этого используем дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

   Корни уравнения x^2 - 5x + 6 = 0:

   • x1 = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2,
   • x2 = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3.

5. Анализируем знак многочлена: Теперь мы можем исследовать знак выражения x^2 - 5x + 6 на интервалах, определенных корнями 2 и 3:
   • При x < 2: Например, x = 1, получаем 1^2 - 5*1 + 6 = 2 > 0.
   • При 2 < x < 3: Например, x = 2.5, получаем (2.5)^2 - 5*2.5 + 6 = -0.25 < 0.
   • При x > 3: Например, x = 4, получаем 4^2 - 5*4 + 6 = 2 > 0.
6. Составляем ответ: Мы видим, что неравенство x^2 - 5x + 6 < 0 выполняется на интервале (2, 3). Не забываем, что x должен быть положительным, что уже выполнено в этом интервале.

Итак, окончательный ответ: Решением неравенства log3(x^2 + 6) < log3(5x является интервал (2, 3).