Как можно решить неравенство log5(x + 13) < log5(x + 3) + log5(x - 5)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы алгебра решение log5 x математические неравенства 11 класс Новый

Чтобы решить неравенство log5(x + 13) < log5(x + 3) + log5(x - 5), начнем с использования свойств логарифмов.

Шаг 1: Применение свойства логарифмов

Мы знаем, что сумма логарифмов может быть преобразована в логарифм произведения:

log5(a) + log5(b) = log5(a * b).

Таким образом, мы можем переписать правую часть неравенства:

log5(x + 3) + log5(x - 5) = log5((x + 3)(x - 5)).

Теперь неравенство принимает вид:

log5(x + 13) < log5((x + 3)(x - 5)).

Шаг 2: Устранение логарифмов

Поскольку логарифм является возрастающей функцией, мы можем убрать логарифмы, при условии, что аргументы положительны:

x + 13 > 0, (x + 3)(x - 5) > 0.

Это дает нам два условия:

• x + 13 > 0 → x > -13;
• (x + 3)(x - 5) > 0.

Теперь решим второе неравенство (x + 3)(x - 5) > 0.

Шаг 3: Решение неравенства (x + 3)(x - 5) > 0

Найдем нули функции:

• x + 3 = 0 → x = -3;
• x - 5 = 0 → x = 5.

Теперь определим знаки произведения на интервалах, разделенных этими точками:

• Для x < -3: (x + 3) < 0 и (x - 5) < 0, следовательно, произведение > 0;
• Для -3 < x < 5: (x + 3) > 0 и (x - 5) < 0, следовательно, произведение < 0;
• Для x > 5: (x + 3) > 0 и (x - 5) > 0, следовательно, произведение > 0.

Таким образом, (x + 3)(x - 5) > 0 при x < -3 или x > 5.

Шаг 4: Объединение условий

Теперь у нас есть два условия:

• x > -13;
• (x + 3)(x - 5) > 0 при x < -3 или x > 5.

Сравнивая эти условия, мы видим, что:

• Для x < -3: это условие не выполняется, так как x > -13;
• Для x > 5: это условие выполняется, так как x > -13.

Таким образом, решением неравенства является:

x > 5.

Итак, окончательный ответ:

x > 5.