Как можно решить неравенство Sinx + cos2x > 1?

Алгебра 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство sinx cos2x решение алгебра 11 класс математика Тригонометрия Новый

Чтобы решить неравенство Sinx + cos2x > 1, начнем с преобразования его к более удобному виду. Мы знаем, что cos2x можно выразить через Sinx. Используем тождество:

• cos2x = 1 - 2Sin^2x

Теперь подставим это выражение в неравенство:

Sinx + (1 - 2Sin^2x) > 1

Упростим это неравенство:

• Sinx + 1 - 2Sin^2x > 1
• Sinx - 2Sin^2x > 0

Теперь можем вынести Sinx за скобки:

Sinx(1 - 2Sinx) > 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое больше нуля. Мы можем решить это неравенство, анализируя знаки каждого из множителей:

1. Sinx > 0
2. 1 - 2Sinx > 0

Решим первое неравенство:

• Sinx > 0, когда x находится в интервале (0, π) + 2kπ, где k - целое число.

Теперь решим второе неравенство:

• 1 - 2Sinx > 0
• 2Sinx < 1
• Sinx < 1/2

Решение этого неравенства:

• Sinx < 1/2, когда x находится в интервалах (0, π/6) и (5π/6, π) + 2kπ, где k - целое число.

Теперь нам нужно найти пересечение двух условий:

• Sinx > 0: x ∈ (0, π) + 2kπ
• Sinx < 1/2: x ∈ (0, π/6) и (5π/6, π) + 2kπ

Пересечение этих интервалов:

• Первый интервал: (0, π/6)
• Второй интервал: (5π/6, π)

Таким образом, окончательное решение неравенства Sinx + cos2x > 1 будет:

x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, π) + 2kπ, где k - целое число.