Как можно решить предел через эквивалентные преобразования: lim( ((cos(x))^(1/2)-1)/(sin(2x)^2) ) при x, стремящемся к 0?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел эквивалентные преобразования решение предела алгебра 11 класс лимит функции cos(x) sin(2x) математический анализ Новый

Для решения предела lim( ((cos(x))^(1/2)-1)/(sin(2x)^2) ) при x, стремящемся к 0, мы можем использовать эквивалентные преобразования и некоторые известные пределы. Давайте разберем этот предел шаг за шагом.

Шаг 1: Анализ предела

Сначала подставим x = 0 в выражение. Мы получим:

• cos(0) = 1, следовательно, (cos(x))^(1/2) = 1.
• sin(2*0) = 0, следовательно, sin(2x)^2 = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. Это значит, что мы можем применить правило Лопиталя или преобразовать выражение.

Шаг 2: Применение эквивалентных преобразований

Мы можем воспользоваться известными пределами и разложениями в ряд Тейлора для упрощения выражения.

Разложение cos(x):

Для малых x, мы знаем, что:

• cos(x) ≈ 1 - (x^2)/2.

Следовательно:

• (cos(x))^(1/2) ≈ (1 - (x^2)/2)^(1/2).

Используя разложение для корня, получаем:

• (1 - y)^(1/2) ≈ 1 - y/2 для малых y.

Подставим y = (x^2)/2:

• (cos(x))^(1/2) ≈ 1 - (x^2)/(4).

Таким образом, (cos(x))^(1/2) - 1 ≈ - (x^2)/4.

Шаг 3: Разложение sin(2x):

Теперь рассмотрим sin(2x):

• sin(2x) ≈ 2x для малых x.

Следовательно:

• sin(2x)^2 ≈ (2x)^2 = 4x^2.

Шаг 4: Подстановка в предел

Теперь подставим эти приближения в наш предел:

• lim( ((cos(x))^(1/2)-1)/(sin(2x)^2) ) ≈ lim( (- (x^2)/4) / (4x^2) ).

Упростим это выражение:

• lim( (- (x^2)/4) / (4x^2) ) = lim( -1/16 ) = -1/16.

Ответ:

Таким образом, предел равен -1/16.