Как можно решить систему неравенств: х^2 + x - 6 > 0 и x^2 - x - 6 > 0?

Алгебра 11 класс Системы неравенств решение системы неравенств алгебра 11 класс неравенства х^2 + x - 6 > 0 x^2 - x - 6 > 0 методы решения неравенств графический метод аналитический метод Новый

Чтобы решить систему неравенств x^2 + x - 6 > 0 и x^2 - x - 6 > 0, давайте сначала решим каждое неравенство по отдельности.

Шаг 1: Решение первого неравенства x^2 + x - 6 > 0

• Сначала найдем корни соответствующего уравнения x^2 + x - 6 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.
• Подставляем значения: D = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Теперь находим корни: x1 = (-1 + √25) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2 и x2 = (-1 - √25) / 2 = (-1 - 5) / 2 = -3.
• Таким образом, корни уравнения: x1 = 2 и x2 = -3.
• Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Разобьем числовую прямую на три интервала: (-∞, -3), (-3, 2), (2, +∞).
• Выберем тестовые точки из каждого интервала: например, для (-∞, -3) возьмем x = -4, для (-3, 2) возьмем x = 0, для (2, +∞) возьмем x = 3.
• Подставляем тестовые точки в неравенство:
• Для x = -4: (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 (выполняется).
• Для x = 0: (0)^2 + (0) - 6 = -6 < 0 (не выполняется).
• Для x = 3: (3)^2 + (3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 (выполняется).
• Таким образом, решение первого неравенства: x < -3 или x > 2.

Шаг 2: Решение второго неравенства x^2 - x - 6 > 0

• Аналогично, найдем корни уравнения x^2 - x - 6 = 0. Здесь a = 1, b = -1, c = -6.
• Находим дискриминант: D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Находим корни: x1 = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3 и x2 = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2.
• Корни: x1 = 3 и x2 = -2.
• Разобьем числовую прямую на три интервала: (-∞, -2), (-2, 3), (3, +∞).
• Выбираем тестовые точки: для (-∞, -2) x = -3, для (-2, 3) x = 0, для (3, +∞) x = 4.
• Подставляем тестовые точки в неравенство:
• Для x = -3: (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 (выполняется).
• Для x = 0: (0)^2 - (0) - 6 = -6 < 0 (не выполняется).
• Для x = 4: (4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 (выполняется).
• Таким образом, решение второго неравенства: x < -2 или x > 3.

Шаг 3: Объединение решений

• Теперь у нас есть два решения:
• Первое неравенство: x < -3 или x > 2.
• Второе неравенство: x < -2 или x > 3.
• Нам нужно найти пересечение этих решений:
• Для x < -3: это условие выполняется и для второго неравенства.
• Для x > 2: пересекается с x > 3.
• Таким образом, окончательное решение системы неравенств: x < -3 или x > 3.

Ответ: x < -3 или x > 3.