Как можно решить следующие уравнения:

1. sin 2x=1/2;
2. cos 3x=-√2/2;
3. 2tgx+5=0;
4. 3cos^2 x-5cos x-12=0;
5. 3tg^2 x-4tgx+5=0;
6. (3-4sinx)(3+4cosx)=0;
7. (tgx+3)(tgx+1)=0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение тригонометрических уравнений алгебра 11 класс уравнения с синусом уравнения с косинусом уравнения с тангенсом методы решения уравнений алгебраические уравнения решение уравнений 11 класс Новый

Давайте решим каждое из указанных уравнений по порядку.

1. Уравнение: sin 2x = 1/2

Для начала вспомним, что sin 2x = 1/2. Значит, 2x = arcsin(1/2). Значения, при которых синус равен 1/2, это:

• 2x = π/6 + 2kπ
• 2x = 5π/6 + 2kπ

Теперь делим на 2:

• x = π/12 + kπ
• x = 5π/12 + kπ

2. Уравнение: cos 3x = -√2/2

Здесь мы ищем 3x, где косинус равен -√2/2. Это происходит при:

• 3x = 3π/4 + 2kπ
• 3x = 5π/4 + 2kπ

Теперь делим на 3:

• x = π/4 + (2kπ)/3
• x = 5π/12 + (2kπ)/3

3. Уравнение: 2tgx + 5 = 0

Переносим 5 на другую сторону:

2tgx = -5

Теперь делим на 2:

tgx = -5/2

Значит, x = arctg(-5/2) + kπ, где k - любое целое число.

4. Уравнение: 3cos^2 x - 5cos x - 12 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos x. Обозначим cos x как t:

3t^2 - 5t - 12 = 0

Решаем его по формуле дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*3*(-12) = 25 + 144 = 169

Теперь находим корни:

• t1 = (5 + √169) / (2 * 3) = 17/6
• t2 = (5 - √169) / (2 * 3) = -2/3

Теперь вернемся к cos x:

• cos x = 17/6 (не подходит, так как косинус не может быть больше 1)
• cos x = -2/3

Для cos x = -2/3, x = arccos(-2/3) + 2kπ и x = -arccos(-2/3) + 2kπ.

5. Уравнение: 3tg^2 x - 4tgx + 5 = 0

Это также квадратное уравнение. Обозначим tg x как t:

3t^2 - 4t + 5 = 0

Находим дискриминант:

D = (-4)^2 - 4*3*5 = 16 - 60 = -44

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

6. Уравнение: (3 - 4sinx)(3 + 4cosx) = 0

Решаем по отдельности:

• 3 - 4sinx = 0 → sinx = 3/4
• 3 + 4cosx = 0 → cosx = -3/4

Для sinx = 3/4, x = arcsin(3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ.

Для cosx = -3/4, x = arccos(-3/4) + 2kπ и x = -arccos(-3/4) + 2kπ.

7. Уравнение: (tgx + 3)(tgx + 1) = 0

Решаем по отдельности:

• tgx + 3 = 0 → tgx = -3 → x = arctg(-3) + kπ.
• tgx + 1 = 0 → tgx = -1 → x = arctg(-1) + kπ = -π/4 + kπ.

Таким образом, мы рассмотрели все уравнения и нашли их решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!