Как можно решить следующую систему неравенств:

1. 4^x - 12*2^x + 32 >= 0,
2. logx(x-2) * logx(x+2) <= 0?

Алгебра 11 класс Системы неравенств решение системы неравенств алгебра 11 класс неравенства 4^x неравенства logx логарифмические неравенства алгебраические методы решения Новый

Для решения данной системы неравенств, давайте разберем каждое из них по отдельности.

1. Первое неравенство: 4^x - 12*2^x + 32 >= 0

Сначала преобразуем 4^x в более удобный вид. Мы знаем, что 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2. Обозначим 2^x = t. Тогда неравенство можно переписать так:

(t^2 - 12t + 32) >= 0.

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

1. Находим дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4*1*32 = 144 - 128 = 16.

2. Теперь находим корни:

   t1 = (12 + sqrt(16)) / 2 = (12 + 4) / 2 = 8,

   t2 = (12 - sqrt(16)) / 2 = (12 - 4) / 2 = 4.

Теперь у нас есть корни t1 = 8 и t2 = 4. Мы можем построить числовую прямую и определить знаки выражения (t - 4)(t - 8) на интервалах:

• t < 4: выражение положительное;
• 4 < t < 8: выражение отрицательное;
• t > 8: выражение положительное.

Таким образом, неравенство (t - 4)(t - 8) >= 0 выполняется при:

t <= 4 или t >= 8.

Теперь возвращаемся к переменной t = 2^x:

• 2^x <= 4, что означает x <= 2;
• 2^x >= 8, что означает x >= 3.

Таким образом, первое неравенство имеет решения: x <= 2 или x >= 3.

2. Второе неравенство: logx(x-2) * logx(x+2) >= 0

Для решения этого неравенства сначала определим область допустимых значений:

• x > 2 (так как x-2 > 0),
• x > -2 (так как x+2 > 0), но это условие всегда выполняется при x > 2.

Теперь рассмотрим выражение logx(x-2) и logx(x+2). Поскольку x > 2, логарифм будет положительным. Теперь определяем, когда произведение двух логарифмов будет больше или равно нулю:

• logx(x-2) >= 0, что происходит при x-2 >= 1 (то есть x >= 3);
• logx(x+2) >= 0, что также происходит при x+2 >= 1 (то есть x >= -1), но это условие не является ограничивающим для нашей области, так как x > 2.

Таким образом, для второго неравенства мы имеем x >= 3.

Объединение решений:

Теперь объединим решения двух неравенств:

• Первое неравенство: x <= 2 или x >= 3;
• Второе неравенство: x >= 3.

Таким образом, общее решение системы неравенств:

x >= 3.

Это и есть ответ на вашу систему неравенств.