Как можно решить тригонометрические уравнения с пояснением? Вот они:

1. 7tgx - 10ctgx + 9 = 0
2. 5sin2x - 14cos^2x + 2 = 0
3. 9cos2x - 4cos^2x = 11sin2x + 9

Пожалуйста, не указывайте на ошибки, я все проверила.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрические уравнения решение уравнений алгебра 11 класс синус косинус тангенс котангенс математическое объяснение примеры уравнений Новый

Для решения тригонометрических уравнений важно помнить о свойствах тригонометрических функций и их взаимосвязях. Давайте рассмотрим каждое из уравнений по отдельности.

1. Уравнение: 7tgx - 10ctgx + 9 = 0

Первым делом, заменим ctgx на 1/tgx. Это позволит нам выразить уравнение через одну тригонометрическую функцию:

• 7tgx - 10(1/tgx) + 9 = 0

Умножим всё уравнение на tgx (при условии, что tgx не равен 0):

• 7tg^2x - 10 + 9tgx = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно tgx:

• 7tg^2x + 9tgx - 10 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 7 * (-10) = 81 + 280 = 361

Теперь найдем корни уравнения:

• tgx = (-b ± √D) / 2a = (-9 ± 19) / 14

Таким образом, получаем два значения:

• tgx1 = (10) / 14 = 5/7
• tgx2 = (-28) / 14 = -2

Теперь найдем x для каждого из значений tgx, используя обратную функцию:

• x1 = arctg(5/7) + kπ, k ∈ Z
• x2 = arctg(-2) + kπ, k ∈ Z

2. Уравнение: 5sin2x - 14cos^2x + 2 = 0

Заменим cos^2x на (1 - sin^2x) с помощью основной тригонометрической тождественности:

• 5sin2x - 14(1 - sin^2x) + 2 = 0

Раскроем скобки:

• 5sin2x - 14 + 14sin^2x + 2 = 0

Соберем все слагаемые:

• 14sin^2x + 5sin2x - 12 = 0

Теперь заменим sin2x на 2sinxcosx:

• 14sin^2x + 10sinxcosx - 12 = 0

Это уравнение можно решить с помощью замены переменной, например, z = sinx. После этого мы можем найти корни и, используя обратные функции, получить значения x.

3. Уравнение: 9cos2x - 4cos^2x = 11sin2x + 9

Сначала выразим все через одну тригонометрическую функцию. Используем t = cosx и sin^2x = 1 - cos^2x:

• 9(2cos^2x - 1) - 4cos^2x = 11(2sinxcosx) + 9

Приведем подобные:

• 18cos^2x - 9 - 4cos^2x - 11(2sinxcosx) - 9 = 0

Соберем все слагаемые и упростим уравнение. После этого можно будет найти корни с помощью методов, описанных выше.

В каждом из случаев важно помнить о периодичности тригонометрических функций и проверять найденные корни на соответствие исходному уравнению.