Как можно решить тригонометрическое уравнение 14cos^2(x) - 2cos(2x) = 9sin(2x) - 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс cos sin математические методы уравнения с косинусом уравнения с синусом Новый

Решим тригонометрическое уравнение 14cos^2(x) - 2cos(2x) = 9sin(2x) - 2 шаг за шагом.

Первым делом, давайте вспомним некоторые тригонометрические тождества. Мы знаем, что:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем подставить эти тождества в уравнение. Начнем с замены cos(2x):

1. Подставим cos(2x):

14cos^2(x) - 2(2cos^2(x) - 1) = 9(2sin(x)cos(x)) - 2

2. Упростим это уравнение:

14cos^2(x) - 4cos^2(x) + 2 = 18sin(x)cos(x) - 2

3. Соберем все элементы в одну сторону:

14cos^2(x) - 4cos^2(x) - 18sin(x)cos(x) + 4 = 0

4. Упростим:

10cos^2(x) - 18sin(x)cos(x) + 4 = 0

Теперь заметим, что sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)). Подставим это в уравнение:

1. Заменим sin(x):

10cos^2(x) - 18sqrt(1 - cos^2(x))cos(x) + 4 = 0

2. Обозначим cos(x) = t. Тогда уравнение станет:

10t^2 - 18sqrt(1 - t^2)t + 4 = 0

Теперь это уравнение можно решить численно или аналитически, но это может быть довольно сложно. Поэтому давайте попробуем упростить его еще раз.

Возвращаясь к первоначальному уравнению, мы можем решить его другим способом. Перепишем его в виде:

14cos^2(x) - 2cos(2x) - 9sin(2x) + 2 = 0

Теперь мы можем использовать численные методы, такие как графический метод или метод подбора, чтобы найти корни.

После нахождения значений cos(x) и sin(x) можно будет использовать обратные тригонометрические функции для нахождения x:

• Если cos(x) = a, то x = arccos(a) + 2kπ или x = -arccos(a) + 2kπ, где k - целое число.
• Если sin(x) = b, то x = arcsin(b) + 2kπ или x = π - arcsin(b) + 2kπ.

Таким образом, мы можем найти все решения уравнения в заданном диапазоне. Если у вас есть конкретные значения для sin(x) и cos(x), мы можем рассмотреть их более подробно.