Как можно решить тригонометрическое уравнение: 3 sinx + 5 cosx = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения 3 sinx + 5 cosx = 0 алгебра 11 класс математические уравнения синус и косинус методы решения уравнений Новый

Для решения тригонометрического уравнения 3 sin(x) + 5 cos(x) = 0, мы можем следовать следующим шагам:

1. Перепишем уравнение:

   Мы можем выразить sin(x) через cos(x) или наоборот. В данном случае, давайте выразим sin(x):

   3 sin(x) = -5 cos(x)

   sin(x) = -5/3 cos(x)

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

   Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим выражение для sin(x):

   (-5/3 cos(x))^2 + cos^2(x) = 1

3. Упростим уравнение:

   Раскроем скобки:

   25/9 cos^2(x) + cos^2(x) = 1

   Приведем к общему знаменателю:

   (25/9 + 9/9) cos^2(x) = 1

   (34/9) cos^2(x) = 1

4. Решим для cos^2(x):

   Умножим обе стороны на 9/34:

   cos^2(x) = 9/34

5. Найдём cos(x):

   Теперь извлечем корень из обеих сторон:

   cos(x) = ±√(9/34) = ±3/√34

6. Определим x:

   Теперь, когда мы знаем значение cos(x), можем найти x. Мы знаем, что:

   cos(x) = 3/√34 и cos(x) = -3/√34

   Используем арккосинус для нахождения углов:

   • x₁ = arccos(3/√34)
   • x₂ = 2π - arccos(3/√34)
   • x₃ = arccos(-3/√34)
   • x₄ = 2π - arccos(-3/√34)
7. Запишем общий вид решения:

   Так как косинус имеет период 2π, общее решение можно записать как:

   x = arccos(3/√34) + 2kπ и x = 2π - arccos(3/√34) + 2kπ, где k - любое целое число.

   А также:

   x = arccos(-3/√34) + 2kπ и x = 2π - arccos(-3/√34) + 2kπ.

Таким образом, мы нашли все решения тригонометрического уравнения 3 sin(x) + 5 cos(x) = 0.