Как можно решить тригонометрическое уравнение: √3sinx + cosx = √2?
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс синус косинус математические методы Новый
Решим тригонометрическое уравнение: √3sinx + cosx = √2. Давайте начнем с преобразования этого уравнения.
Мы можем выразить cosx через sinx:
cosx = √2 - √3sinx.
Помним, что sin²x + cos²x = 1. Подставим найденное значение cosx в это тождество:
sin²x + (√2 - √3sinx)² = 1.
(√2 - √3sinx)² = 2 - 2√2√3sinx + 3sin²x.
Теперь подставим это в уравнение:
sin²x + 2 - 2√2√3sinx + 3sin²x = 1.
4sin²x - 2√2√3sinx + 2 = 1.
4sin²x - 2√2√3sinx + 1 = 0.
Обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид:
4t² - 2√6t + 1 = 0.
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = -2√6, c = 1.
D = (-2√6)² - 4 * 4 * 1 = 24 - 16 = 8.
t = (2√6 ± √8) / 8 = (2√6 ± 2√2) / 8 = (√6 ± √2) / 4.
Получаем два значения:
Поскольку sinx может принимать значения только в диапазоне [-1, 1], проверим, находятся ли наши значения в этом диапазоне:
Теперь найдем x для обоих значений sinx:
Не забудьте учесть, что синус имеет период 2π, и также необходимо учитывать дополнительные углы в пределах [0, 2π].
Таким образом, мы нашли все возможные решения данного тригонометрического уравнения.