Как можно решить тригонометрическое уравнение: √3sinx + cosx = √2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс синус косинус математические методы Новый

Решим тригонометрическое уравнение: √3sinx + cosx = √2. Давайте начнем с преобразования этого уравнения.

1. Перепишем уравнение:

Мы можем выразить cosx через sinx:

cosx = √2 - √3sinx.

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

Помним, что sin²x + cos²x = 1. Подставим найденное значение cosx в это тождество:

sin²x + (√2 - √3sinx)² = 1.

3. Раскроем скобки:

(√2 - √3sinx)² = 2 - 2√2√3sinx + 3sin²x.

Теперь подставим это в уравнение:

sin²x + 2 - 2√2√3sinx + 3sin²x = 1.

4. Соберем подобные члены:

4sin²x - 2√2√3sinx + 2 = 1.

4sin²x - 2√2√3sinx + 1 = 0.

5. Решим квадратное уравнение:

Обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид:

4t² - 2√6t + 1 = 0.

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = -2√6, c = 1.

6. Вычислим дискриминант:

D = (-2√6)² - 4 * 4 * 1 = 24 - 16 = 8.

7. Подставим дискриминант в формулу:

t = (2√6 ± √8) / 8 = (2√6 ± 2√2) / 8 = (√6 ± √2) / 4.

8. Найдем значения sinx:

Получаем два значения:

• t₁ = (√6 + √2) / 4,
• t₂ = (√6 - √2) / 4.
9. Проверим, подходят ли значения для sinx:

Поскольку sinx может принимать значения только в диапазоне [-1, 1], проверим, находятся ли наши значения в этом диапазоне:

• Для t₁ = (√6 + √2) / 4: √6 ≈ 2.45 и √2 ≈ 1.41, следовательно, (2.45 + 1.41) / 4 ≈ 0.71 (в пределах [-1, 1]).
• Для t₂ = (√6 - √2) / 4: (2.45 - 1.41) / 4 ≈ 0.26 (также в пределах [-1, 1]).
10. Найдём углы x:

Теперь найдем x для обоих значений sinx:

• x₁ = arcsin((√6 + √2) / 4),
• x₂ = arcsin((√6 - √2) / 4).

Не забудьте учесть, что синус имеет период 2π, и также необходимо учитывать дополнительные углы в пределах [0, 2π].

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного тригонометрического уравнения.